Question

已知幾何體的三視圖如圖所示，其中俯視圖和側視圖都是腰長為4的等腰直角三角形，正視圖為直角梯形．

（1）求此幾何體的體積的大小；

（2）求異面直線DE與AB所成角的余弦值；

（3）求二面角A-ED-B的正弦值．

 

Answer 1

（1）16；（2） ；（3）．

【解析】

試題分析：（1）由三視圖易得AC⊥平面BCE，則體積；（2）取EC的中點是F，連結BF，可證∠FBA或其補角即為異面直線DE與AB所成的角，在△BAF中，利用余弦定理可求得異面直線DE與AB所成的角的余弦值為 ；（3）過C作CG⊥DE交DE于G，連AG，可證DE⊥平面ACG，

易知∠AGC為二面角A-ED-B的平面角，在△ACG中，可求得二面角A-ED-B的的正弦值為．

試題解析：（1）AC⊥平面BCE， 則

∴幾何體的體積V為16．

（2）取EC的中點是F，連結BF，則BF//DE，∴∠FBA或其補角即為異面直線DE與AB所成的角．

在△BAF中，AB=，BF=AF=．∴．

∴異面直線DE與AB所成的角的余弦值為

（3）AC⊥平面BCE，過C作CG⊥DE交DE于G，連AG．可得DE⊥平面ACG，

從而AG⊥DE,∴∠AGC為二面角A-ED-B的平面角．

在△ACG中，∠ACG=90°，AC=4，ＣG=,∴．∴．

∴二面角A-ED-B的的正弦值為．

考點：1．空間幾何體的結構特征與三視圖；2．空間幾何中的線面角與二面角