Question

設函數(shù)f（x）=sin（x+）-2sin²x．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）若函數(shù)y=g（x）的圖象與函數(shù)y=f（x）的圖象關于原點對稱，求S=g（1）+g（2）+…+g（2012）的值．

Answer 1

解：（1）∵函數(shù)f（x）=sin（x+）-2sin²x=sinx+cosx-2•
=（sinx+cosx）-1=sin（x+）-1，
故函數(shù)f（x）的最小正周期T==4．
（2）∵函數(shù)y=g（x）的圖象與函數(shù)y=f（x）的圖象關于原點對稱，在函數(shù)y=g（x）的圖象上任取一點
（x，g（x）），則它關于原點的對稱點（-x，-g（x））在函數(shù)y=f（x）的圖象上，
即點（-x，-g（x））的坐標滿足函數(shù)y=f（x）的解析式，故有-g（x）=sin（-x+）-1=-sin（x-）-1，
∴g（x）=sin（x-）+1，故函數(shù)g（x）的周期為4．
∵g（1）=sin（-）+1=+1，g（2）=sin（×2-）+1=+1，g（3）=sin（×3-）+1=1-，
g（4）=sin（×4-）+1=1-，∴g（1）+g（2）+g（3）+g（4）=4．
S=g（1）+g（2）+…+g（2012）=503（g（1）+g（2）+g（3）+g（4））=503×4=2012．
分析：（1）利用三角函數(shù)的恒等變換化簡函數(shù)f（x）的解析式為 sin（x+）-1，由此求得f（x）的最小正周期．
（2）在函數(shù)y=g（x）的圖象上任取一點（x，g（x）），則它關于原點的對稱點（-x，-g（x））在函數(shù)y=f（x）的圖象上，由此求得 g（x）=sin（x-）+1，由此求得
函數(shù)g（x）的周期為4，求出g（1）+g（2）+g（3）+g（4）的值，即可求得S=g（1）+g（2）+…+g（2012）的值．
點評：本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值，利用函數(shù)的周期性求函數(shù)值，屬于中檔題．