Question

已知正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁．AB=1，AA₁=2，點E為CC₁中點，點F為BD₁中點．
（1）證明EF為BD₁與CC₁的公垂線；
（2）求點D₁到面BDE的距離．

Answer 1

【答案】分析：（1）欲證明EF為BD₁與CC₁的公垂線，只須證明EF分別與為BD₁與CC₁垂直即可，可由四邊形EFMC是矩形→EF⊥CC₁．由EF⊥面DBD₁→EF⊥BD₁．
（2）欲求點D₁到面BDE的距離，將距離看成是三棱錐的高，利用等體積法：V_E-DBD1=V_D1-DBE．求解即得．
解答：解：（1）取BD中點M．
連接MC，F(xiàn)M．
∵F為BD₁中點，
∴FM∥D₁D且FM=D₁D．
又ECCC₁且EC⊥MC，
∴四邊形EFMC是矩形
∴EF⊥CC₁．又CM⊥面DBD₁．
∴EF⊥面DBD₁．
∵BD₁?面DBD₁．∴EF⊥BD₁．
故EF為BD₁與CC₁的公垂線．
（Ⅱ）解：連接ED₁，有V_E-DBD1=V_D1-DBE．
由（Ⅰ）知EF⊥面DBD₁，
設點D₁到面BDE的距離為d．
則．
∵AA₁=2，AB=1．
∴，，
∴．
∴
故點D₁到平面DBE的距離為．
點評：本小題主要考查線面關系和四棱柱等基礎知識，考查空間想象能力和推理能力．