Question

設雙曲線C：的左、右頂點分別為A₁、A₂，垂直于x軸的直線m與雙曲線C交于不同的兩點。

（1）若直線m與x軸正半軸的交點為T，且，求點T的坐標；

（2）求直線A₁P與直線A₂Q的交點M的軌跡E的方程；

（3）過點F（1，0）作直線l與（Ⅱ）中的軌跡E交于不同的兩點A、B，設，若（T為（1）中的點）的取值范圍。

 

Answer 1

【答案】

（1）點T的坐標為（2，0） 

（2） 

（3）

【解析】

試題分析：（1）設出P、Q的坐標，求得向量的坐標，利用 ，P（x₀，y₀）在雙曲線上，即可求得結論；

（2）利用三點共線建立方程，利用P（x₀，y₀）在雙曲線上，即可求得軌跡方程；

（3）用坐標表示，利用韋達定理，求得模長，從而可得函數(shù)關系式，進而可求其范圍．

解：（1）由題，得，設

則

由  ……①

又在雙曲線上，則   ……②

聯(lián)立①、②，解得    由題意，

∴點T的坐標為（2，0） 

（2）設直線A₁P與直線A₂Q的交點M的坐標為（x，y）

由A₁、P、M三點共線，得

   ……③ 

由A₂、Q、M三點共線，得

   ……④  聯(lián)立③、④，解得    

∵在雙曲線上，∴∴軌跡E的方程為 

（3）容易驗證直線l的斜率不為0。

故可設直線l的方程為中，得  

設

則由根與系數(shù)的關系，得  ……⑤  ……⑥

∵ ∴有

將⑤式平方除以⑥式，得 

由

 

∵

又

故

考點：本試題主要考查了軌跡方程，考查向量知識的運用，考查直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理的運用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．

點評：解決該試題的關鍵是借助于向量關系式來表示得到坐標，同時能利用三點共線，進而得到坐標關系，解得軌跡方程。易錯點就是設而不求的思想，在運算中的準確表示。