Question

某高校2011年的自主招生考試成績中隨機抽取100名學生的筆試成績，按成績分組：第1組[160，165），第2組[165，170），第3組[170，175），第4組[175，180），第5組[180，185）得到的頻率分布直方圖如圖所示．
（1）求第3、4、5組的頻率并估計這次考試成績的眾數(shù)；
（2）為了能選拔出最優(yōu)秀的學生，該校決定在筆試成績高的第3、4、5組中用分層抽樣抽取6名學生進入第二輪面試，求第3、4、5組每組各抽取多少名學生進入第二輪面試？
（3）在（2）的前提下，學校決定在這6名學生中隨機抽取2名學生接受甲考官的面試，求：第4組至少有一名學生被甲考官面試的概率？

Answer 1

【答案】分析：（1）利用頻率等于頻數(shù)乘以組距得到各組的頻率，根據(jù)眾數(shù)是直方圖中最高矩形的底邊中點的坐標，求出眾數(shù)的估計值．
（2）利用頻數(shù)等于頻率乘以樣本容量得到，第3，4，5組共有60名學生，利用各組的人數(shù)與樣本容量的比乘以60得到每組抽取的人數(shù)．
（3）列舉出從六位同學中抽兩位同學的所有的抽法，列舉出第4組的2位同學為B₁，B₂，至少有一位同學入選的抽法，由古典概型的概率公式求出概率．
解答：解：（1）由題設(shè)可知，第3組的頻率為0.06×5=0.3；
第4組的頻率為0.04×5=0.2
第5組的頻率為0.02×5=0.1．…（3分）
估計這次考試成績的眾數(shù)為167．（5分）．…（4分）
（2）第三組的人數(shù)為0.3×100=30人；
第四組的人數(shù)為0.2×100=20人；
第五組的人數(shù)為0.1×100=10人；
因為第3，4，5組共有60名學生，所以利用分層抽樣在60名學生中抽取6名學生，每組抽取的人數(shù)分別為：
第3組抽30×=3人； …（5分）
第4組抽20×=2人； …（6分）
第5組抽10×=1人； …（7分）
所以第3，4，5組分別抽取出3人，2人和1人．…（8分）
（3）設(shè)第3組的3位同學為A₁，A₂，A₃，第4組的兩位同學為B₁，B₂，
第5組的1位同學為C₁，…（9分）
則從六位同學中抽兩位同學有：（A₁，A₂），（A₁，A₃），（A₁，B₁），（A₁，B₂），（A₁，C₁），（A₂，A₃），（A₂，B₁）（A₂，B₂），（A₂，C₁），（A₃，B₁），
（A₃，B₂），（A₃，C₁），（B₁，B₂），（B₁，C₁），（B₂，C₁）
共15種可能．…（10分）
其中第4組的2位同學為B₁，B₂，至少有一位同學入選的有（A₁，B₁），（A₁，B₂），（A₂，B₁）（A₂，B₂），（A₃，B₁），（A₃，B₂），（B₁，B₂），（B₁，C₁），（B₂，C₁）共9種可能…（11分）
所以第4組至少有一名學生被甲考官面試的概率為．…（13分）．
點評：本題考查古典概型及其概率公式．考查分層抽樣方法，本題好似一個概率與統(tǒng)計的綜合題目，題目的運算量適中，是一個比較好的題目．