Question

已知集合A=a₁，a₂，…，a_n中的元素都是正整數(shù)，且a₁＜a₂＜…＜a_n，對任意的x，y∈A，且x≠y，有．
（Ⅰ）求證：；    
（Ⅱ）求證：n≤9；
（Ⅲ）對于n=9，試給出一個滿足條件的集合A．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）依題意有，又a₁＜a₂＜＜a_n，因此．由此能夠證明．
（Ⅱ）由，a₁≥1，可得，因此n＜26．同理，可知．由此能夠推導出n≤9．
（Ⅲ）對于任意1≤i＜j≤n，a_i＜a_i+1≤a_j，由，可知．只需對1≤i＜n，成立即可，由此能夠?qū)С鰸M足條件的一個集合A=1，2，3，4，5，7，10，20，100．
解答：解：（Ⅰ）證明：依題意有，又a₁＜a₂＜＜a_n，
因此．
可得．
所以．
即．
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）可得．
又a₁≥1，可得，因此n＜26．
同理，可知．
又a_i≥i，可得，
所以i（n-i）＜25（i=1，2，，n-1）均成立．
當n≥10時，取i=5，則i（n-i）=5（n-5）≥25，
可知n＜10．
又當n≤9時，．
所以n≤9．
（Ⅲ）解：對于任意1≤i＜j≤n，a_i＜a_i+1≤a_j，
由可知，，即．
因此，只需對1≤i＜n，成立即可．
因為；；；，
因此可設(shè)a₁=1；a₂=2；a₃=3；a₄=4；a₅=5．
由，可得，取a₆=7．
由，可得，取a₇=10．
由，可得，取a₈=20．
由，可得a₉≥100，取a₉=100．
所以滿足條件的一個集合A=1，2，3，4，5，7，10，20，100．
點評：本題考查數(shù)列的性質(zhì)的綜合運用，解題時要認真審題，注意公式的合理運用，合理地進行等價轉(zhuǎn)化．