Question

某一電視頻道在一天內(nèi)有x次插播廣告的時(shí)段，一共播放了y條廣告，第1次播放了1條和余下的y-1條的

1

8

，第2次播放了2條以及余下的

1

8

，第3次播放了3條以及余下的

1

8

，以后每次按此規(guī)律插播廣告，在第x次播放了余下的x條（x＞1）．
（1）設(shè)第k次播放后余下a_k條，這里a₀=y，a_x=0，求a_k與a_k-1的遞推關(guān)系式．
（2）求這家電視臺(tái)這一天內(nèi)播放廣告的時(shí)段x與廣告的條數(shù)y．

Answer 1

分析：（1）依題意，第k次播放了k+

1

8

（a_k-1-k）=

1

8

a_k-1+

7

8

k，由此能夠推導(dǎo)出a_k與a_k-1的遞推關(guān)系式．
（2）由a₀=1+

8

7

a₁=1+2×

8

7

+3×（

8

7

）²++x×（

8

7

）^x-1+（

8

7

）^xa_x推導(dǎo)出y=1+2×

8

7

+3×（

8

7

）²++x×（

8

7

）^x-1，用錯(cuò)位相減法求和，可得y=49+（x-7）×

8x

7x-1

．由此可得到這家電視臺(tái)這一天播放廣告的時(shí)段為7段，廣告的條數(shù)為49．

解答：解：（1）依題意，第k次播放了
k+

1

8

（a_k-1-k）=

1

8

a_k-1+

7

8

k，
∴a_k=a_k-1-（

1

8

a_k-1+

7

8

k）．
∴a_k-1=k+

8

7

a_k，
即a_k與a_k-1的遞推關(guān)系式為a_k-1=k+

8

7

a_k．
（2）∵a₀=1+

8

7

a₁
=1+

8

7

（2+

8

7

a₂）
=1+2×

8

7

+（

8

7

）²a₂
=1+2×

8

7

+3×（

8

7

）²+（

8

7

）³a₃
=1+2×

8

7

+3×（

8

7

）²++x×（

8

7

）^x-1+（

8

7

）^xa_x．
∵a_x=0，
∴y=1+2×

8

7

+3×（

8

7

）²++x×（

8

7

）^x-1．
用錯(cuò)位相減法求和，可得y=49+（x-7）×

8x

7x-1

．∴y∈N*，∴x-7=0．∴

x=7 y=49.

故這家電視臺(tái)這一天播放廣告的時(shí)段為7段，廣告的條數(shù)為49．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的性質(zhì)和運(yùn)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題．仔細(xì)解答．