Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，F(xiàn)是拋物線C：x²=2py（p＞0）的焦點(diǎn)，M是拋物線C上位于第一象限內(nèi)的任意一點(diǎn)，過M，F(xiàn)，O三點(diǎn)的圓的圓心為Q，點(diǎn)Q到拋物線C的準(zhǔn)線的距離為。（Ⅰ）求拋物線C的方程；
（Ⅱ）是否存在點(diǎn)M，使得直線MQ與拋物線C相切于點(diǎn)M？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，說明理由；
（Ⅲ）若點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為，直線l：y=kx+與拋物線C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A，B，l與圓Q有兩個(gè)不同的交點(diǎn)D，E，求當(dāng)≤k≤2時(shí)，的最小值。

Answer 1

解：（Ⅰ）F拋物線C：x²=2py（p＞0）的焦點(diǎn)F，
設(shè)M，，由題意可知，
則點(diǎn)Q到拋物線C的準(zhǔn)線的距離為，解得，
于是拋物線C的方程為。
（Ⅱ）假設(shè)存在點(diǎn)M，使得直線MQ與拋物線C相切于點(diǎn)M，
而，，，
，，
由可得，，
則，即，解得，
點(diǎn)M的坐標(biāo)為
（Ⅲ）若點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為，則點(diǎn)M，。
由可得，
設(shè)，
圓，
，
于是，
令，
設(shè)，，
當(dāng)時(shí)，，
即當(dāng)時(shí).
故當(dāng)時(shí)，。