Question

已知函數(shù)y=f（x）由下列關系式確定：xy＞0，且4x²+9y²=36．
（ I）求出函數(shù)y=f（x）的解析式，并在所給坐標系中畫出y=f（x）的圖象；
（ II）判斷f（x）的奇偶性，并證明．

Answer 1

分析：（I）已知xy＞0，且4x²+9y²=36，其實是一個橢圓，解出y關于x的解析式，注意定義域；
（II）先看f（x）的定義域是否對稱，分兩種情況，再驗證f（-x）與f（x）的關系從而求解；

解答：解：（1）∵xy＞0，且4x²+9y²=36．
∴當x＜0時，y=-

4- 4 9 x2

=-2

1- 1 9 x2

；
當x＞0時，y=

4- 4 9 x2

=2

1- 1 9 x2

．
所以，f(x)=

2 1- 1 9 x2 ，x＞0 -2 1- 1 9 x2 ，x＜0.

（6分）（其中作圖2分）

（2）f（x）的定義域為（-3，0）∪（0，3）；                            （7分）
當x＞0時，-x＜0，f(-x)=-2

1- 1 9 (-x)2

=-f(x)；
當x＜0時，-x＞0，f(-x)=2

1- 1 9 (-x)2

=-f(x)
所以，f（x）在（-3，0）∪（0，3）上為奇函數(shù)．                         （12分）

點評：此題主要考查函數(shù)的圖象和函數(shù)奇偶性的判斷，利用了分類討論的思想，仔細觀察其實是橢圓的左右兩部分，此題是道基礎題．