Question

如圖，ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，∠BAD=60°．
（1）證明：面PBD⊥面PAC；
（2）求銳二面角A-PC-B的余弦值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)菱形的對角線互相垂直及線面垂直的性質，可得AC⊥BD，PA⊥BD，由線面垂直的判定定理可得BD⊥面 PAC，再由面面垂直的判定定理可得面PBD⊥面PAC；
（2）以OA、OB、OQ所在直線分別為x軸、z軸，建立空間直角坐標系O-xyz，分別求出平面PAC的法向量和平面PBC的法向量，代入向量夾角公式，可得答案．

解答：證明：（1）因為四邊形ABCD是菱形，
所以AC⊥BD
因為PA⊥平面ABCD，
所有PA⊥BD．…（2分）
又因為PA∩AC=A，
所以BD⊥面 PAC．…（3分）
而BD?面PBD，
所以面PBD⊥面PAC．…（5分）
解：（2）如圖，設AC∩BD=O．取PC的中點Q，連接OQ．
在△APC中，AO=OC，CQ=QP，OQ為△APC的中位線，所以OQ∥PA．
因為PA⊥平面ABCD，
所以OQ⊥平面ABCD，…（6分）
以OA、OB、OQ所在直線分別為x軸、z軸，建立空間直角坐標系O-xyz
則A（

3

，0，0），B（0，1，0），C（-

3

，0，0），P（

3

，0，2）…（7分）
因為BO⊥面PAC，
所以平面PAC的一個法向量為

OB

=（0，1，0），…（8分）
設平面PBC的一個法向量為

n

=（x，y，z）
而

BC

=（-

3

，-1，0），

PB

=（-

3

，1，-2）
由

n • BC =0 n • PB =0

得

- 3 x-y=0 - 3 x+y-2z=0

令x=1，則y=-

3

，z=-

3

，
所以

n

=（1，-

3

，-

3

）為平面PBC的一個法向量．…（10分）
cos＜

OB

，

n

＞=

| OB • n |

| OB |•| n |

=

21

7

…（12分）

點評：本題考查的知識點是線面的判定，面面垂直的判定，二面角的求法，其中（1）的關鍵是熟練掌握線線垂直，線面垂直，面面垂直之間的相互轉化，（2）的關鍵是建立空間坐標系，將二面角問題轉化為向量夾角問題．