Question

已知A、B兩點(diǎn)在拋物線C：x²=4y上，點(diǎn)M（0，4）滿足=λ．
（1）求證：⊥；
（2）設(shè)拋物線C過A、B兩點(diǎn)的切線交于點(diǎn)N．
①求證：點(diǎn)N在一條定直線上；
②設(shè)4≤λ≤9，求直線MN在x軸上截距的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：先設(shè)A，B的坐標(biāo)和直線AB的方程，再聯(lián)立直線與拋物線方程消去y得到關(guān)于x的一元二次方程得到兩根之和與兩根之積．
（1）根據(jù)向量的數(shù)量積運(yùn)算表示出•，然后將所求的兩根之和與兩根之積代入即可得到：•=0，進(jìn)而的得證．
（2）①先表示出過點(diǎn)A的切線和過點(diǎn)B的切線，然后兩直線聯(lián)立可求出點(diǎn)N的坐標(biāo)，即可得到點(diǎn)N在定直線y=-4上．
②根據(jù)=λ可知（x₁，y₁-4）=λ（-x₂，4-y₂），進(jìn)而可聯(lián)立方程可求得k²的表達(dá)式，進(jìn)而求得k²的范圍，最后根據(jù)直線MN在x軸的截距為k，進(jìn)而可得答案．
解答：解：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），l_AB：y=kx+4與x²=4y聯(lián)立得x²-4kx-16=0，
△=（-4k）²-4（-16）=16k²+64＞0，
x₁+x₂=4k，x₁x₂=-16，
（1）證明：•
=x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（kx₁+4）（kx₂+4）
=（1+k²）x₁x₂+4k（x₁+x₂）+16
=（1+k²）（-16）+4k（4k）+16=0，
∴⊥．
（2）①證明：過點(diǎn)A的切線：
y=x₁（x-x₁）+y₁=x₁x-x₁²，①
過點(diǎn)B的切線：y=x₂x-x₂²，②
聯(lián)立①②結(jié)合（1）的結(jié)論得點(diǎn)N（，-4），
所以點(diǎn)N在定直線y=-4上．
②∵=λ，∴（x₁，y₁-4）=λ（-x₂，4-y₂），
聯(lián)立可得
k²===λ+-2，4≤λ≤9，
∴≤k²≤．
直線MN：y=x+4在x軸的截距為k，
∴直線MN在x軸上截距的取值范圍是
[-，-]∪[，]．
點(diǎn)評：本題主要考查了拋物線的應(yīng)用．涉及了拋物線的性質(zhì)，向量的計(jì)算，不等式等知識．