記有限集合A的元素個數(shù)為n(A)，那么有n(A∪B)＝n(A)＋n(B)－n(A∩B)；n(A∪B∪C)＝n(A)＋n(B)＋n(C)－n(A∩B)－n(A∩C)－n(B∩C)＋n(A∩B∩C)．解下列題目：一次會議有1990位數(shù)學家參加，每人至少有1327位合作者，求證：可以找到千位數(shù)學家，他們中每兩個人都合作過．

答案：
解析：

　　解：記數(shù)學家們?yōu)閂i(i＝1，2，3，…，1990)，與Vi合作過的數(shù)學家組成集合Ai，任取合作過的兩位數(shù)學家記為V1，V2，則n(A1)≥1327，n(A1)≥1327，n(A1∪A2)≤1990，得n(A1∩A2)＝n(A1)＋n(A2)－n(A1∪A2)≥1327×2－1990＞0，從而存在數(shù)學家V3∈A1∩A2，V3≠V1，V3≠V2

　　又∵n(A1∩A2∩A3)＝n(A1∩A2)＋n(A3)－n[(A1∩A2)∪A3]≥[(1327×2)－1990]＋1327－1990＝1

　　∴存在數(shù)學家V4∈A1∩A2∩A3，V4≠V1，V4≠V2，V4≠V3

　　∴數(shù)學家V1，V2，V3，V4兩兩合作過．

　　從而問題得證．

　　思想方法小結(jié)：本題實質(zhì)是證明A1∩A2∩A3≠φ．


提示：

將實際問題，轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，利用集合思想加以解決，充分利用上面兩個集合元素個數(shù)的公式．


練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設(shè)有限集合A={x|x=ai，i≤n，i∈N+，n∈N+}，則
n
i=1
ai叫做集合A的和，記作SA．若集合P={x|x=2n-1，n∈N+，n≤4}，集合P的含有3個元素的全體子集分別為P1、P2…、Pk，則
k
i=1
Spi=
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

定義：設(shè)有限集合A={x|x=ai，i≤n，i∈N+，n∈N+}，S=a1+a2+…+an-1+an，則S叫做集合A的模，記作|A|；若集合P={x|x=2n-1，n∈N+，n≤10}，集合P的含有三個元素的全體子集分別為P1，P2，…Pk，則|P1|+|P2|+…+|Pk|=
3600
3600
（用數(shù)字作答）．

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科目：高中數(shù)學 來源：數(shù)學教研室 題型：044

有限集合A的元素個數(shù)記作card(A)．如A={a，b，c，d}，則card(A)=4．一般地，對于任意兩個集合A、B，有：

card()=card(A)＋card(B)－card()．

兩個變形公式為：

card(A)＋card(B)=card(A∪B)＋card(A∩B)；

card(A∩B)=card(A)＋card(B)－card(A∪B)．

請根據(jù)以上知識解下題．

學校舉辦了一次田徑運動會，某班有8名同學參賽，又舉辦了一次球類運動會，這個班有12名同學參賽，兩次運動會都參賽的有3人．兩次運動會中，這個班共有多少名同學參賽？

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：044

有限集合A的元素個數(shù)記作card(A)．如A={a，b，c，d}，則card(A)=4．一般地，對于任意兩個集合A、B，有：

card()=card(A)＋card(B)－card()．

兩個變形公式為：

card(A)＋card(B)=card(A∪B)＋card(A∩B)；

card(A∩B)=card(A)＋card(B)－card(A∪B)．

請根據(jù)以上知識解下題．

學校舉辦了一次田徑運動會，某班有8名同學參賽，又舉辦了一次球類運動會，這個班有12名同學參賽，兩次運動會都參賽的有3人．兩次運動會中，這個班共有多少名同學參賽？

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設(shè)有限集合，則叫做集合A的和，記作若集合，集合P的含有3個元素的全體子集分別為，則=          ．

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