Question

2．設(shè)x＞0，且x²+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1，求x$\sqrt{1+{y}^{2}}$的最大值，并指出取等號時(shí)x，y的取值．

Answer 1

分析 由于x＞0且x²+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1，變形再利用均值不等式即可得出．

解答 解：∵x＞0且x²+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1，
可得x$\sqrt{1+{y}^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}•\sqrt{2{x}^{2}（1+{y}^{2}）}$≤$\frac{\sqrt{2}}{2}•\sqrt{（\frac{2{x}^{2}+1+{y}^{2}}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
當(dāng)且僅當(dāng)2x²=1+y²，并且x²+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1時(shí)，上式取得最大值$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴表達(dá)式的最大值為：$\frac{\sqrt{2}}{2}$．此時(shí)x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，y=0．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的變形利用基本不等式在求最值值的應(yīng)用，屬于中檔題．