Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₁=1，a_n=

Sn

n

+2（n-1）（n∈N^*）．
（1）求證：數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，并分別寫出a_n和S_n關(guān)于n的表達(dá)式；
（2）設(shè)數(shù)列{

1

anan+1

}的前n項(xiàng)和為T_n，證明：

1

5

≤T_n＜

1

4

；
（3）是否存在自然數(shù)n，使得S₁+

S2

2

+

S3

3

+…+

Sn

n

-（n-1）²=2011？若存在，求出n的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）證明：由a_n=

Sn

n

+2（n-1），得S_n=na_n-2n（n-1）（n∈N^*）．
當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=na_n-（n-1）a_n-1-4（n-1），即a_n-a_n-1=4，
∴數(shù)列{a_n}是以a₁=1為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列．
于是，a_n=4n-3，S_n═2n²-n（n∈N^*）．
（2）證明：∵

1

anan+1

=

1

(4n-3)(4n+1)

=

1

4

(

1

4n-3

-

1

4n+1

)，
∴T_n=

1

a1a2

+

1

a2a3

+…+

1

anan+1

=

1

4

[（1-

1

5

）+（

1

5

-

1

9

）+（

1

9

-

1

13

）+…+（

1

4n-3

-

1

4n+1

）]=

1

4

（1-

1

4n+1

）＜

1

4

，
又易知T_n單調(diào)遞增，
故T_n≥T₁=

1

a1a2

=

1

5

，
所以

1

5

≤T_n＜

1

4

．
（3）由S_n=na_n-2n（n-1），得

Sn

n

=a_n-2（n-1）=2n-1（n∈N^*），
∴S₁+

S2

2

+

S3

3

+…+

Sn

n

-（n-1）²=1+3+5+7+…+（2n-1）-（n-1）²
=n²-（n-1）²=2n-1．
令2n-1=2011，得n═1006，
即存在滿足條件的自然數(shù)n=1006．