Question

已知函數(shù)f(x)=lnx，g(x)=

1

2

ax2+bx (a≠0).
（Ⅰ）若a=-2時，函數(shù)h（x）=f（x）-g（x）在其定義域是增函數(shù)，求b的取值范圍；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的結(jié)論下，設函數(shù)φ（x）=e^2x+be^x，x∈[0，ln2]，求函數(shù)φ（x）的最小值；

Answer 1

分析：（1）h（x）的導數(shù)大于或等于0，得到b≤m（x）型的不等式，故應有：b小于或等于m（x）的最小值．
（2）換元，設t=e^x，把函數(shù)φ（x）化為二次函數(shù)的形式，配方找出對稱軸，分對稱軸在區(qū)間內(nèi)、在區(qū)間左側(cè)、在區(qū)間右側(cè)三種情況求出函數(shù)最小值．

解答：解：（Ⅰ）由題設知：h（x）=lnx+x²-bx，且在（0，+∞）上是增函數(shù)，
∵h′(x)=

1

x

+2x-b
∴

1

x

+2x-b≥0即b≤

1

x

+2x對x∈（0，+∞）恒成立，
∵x＞0，有

1

x

+2x≥2

2

.∴b的取值范圍為(-∞，2

2

].（7分）
（Ⅱ）設t=e^x，則函數(shù)化為φ（x）=F（t）=t²+bt，t∈[1，2]．∵F(t)=(t+

b

2

)2-

b2

4

.
∴當-

b

2

≤1即-2≤b≤2

2

時，F(xiàn)（t）在[1，2]上為增函數(shù)，[φ（x）]_min=F（1）=b+1；
當1＜-

b

2

＜2即-4＜b＜-2時，[φ(x)]min=F(-

b

2

)=-

b2

4

；
當-

b

2

≥2即b≤-4時，F(xiàn)（t）在[1，2]上為減函數(shù)，[φ（x）]_min=F（2）=2b+4；
∴[φ(x)]min=

b+1     x∈[-2，2 2 ] - b2 4      x∈(-4，-2) 2b+4   x∈(-∞，-4]

（14分）

點評：本題考查函數(shù)單調(diào)性的應用，恒成立問題，注意分類討論．