Question

將長為1的棒任意地折成三段，求：三段的長度都不超過a（

1

3

≤a≤1）的概率．

Answer 1

分析：先設(shè)木棒其中兩段的長度分別為x、y，分別表示出木棒隨機地折成3段的x，y的約束條件和3段構(gòu)成三角形的約束條件，再畫出約束條件表示的平面區(qū)域，利用面積測度即可求三段的長度都不超過a（

1

3

≤a≤1）的概率．

解答：解：設(shè)第一段的長度為x，第二段的長度為y，第三段的長度為1-x-y，
則基本事件組所對應(yīng)的幾何區(qū)域可表示為Ω={（x，y）|0＜x＜1，0＜y＜1，0＜x+y＜1}，此區(qū)域面積為

1

2

．
事件“三段的長度都不超過a（

1

3

≤a≤1）”所對應(yīng)的幾何區(qū)域可表示為：
A={（x，y）|（x，y）∈Ω，x＜a，y＜a，1-x-y＜a}．
即圖中六邊形區(qū)域，此區(qū)域面積：
當(dāng)

1

3

≤a≤

1

2

時，為（3a-1）²/2，
此時事件“三段的長度都不超過a（

1

3

≤a≤1）”的概率為P=

(3a-1)2/2

1/2

=（3a-1）²；
當(dāng)

1

2

≤a≤1時，為

1

2

-

3(1-a)2

2

．
此時事件“三段的長度都不超過a（

1

3

≤a≤1）”的概率為P=1-3（1-a）²．

點評：本題主要考查了幾何概型，如果每個事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長度（面積或體積）成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡稱為幾何概型．