Question

如圖，直線l⊥平面α，垂足為O，已知長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=5，AB=6，AD=8．該長方體做符合以下條件的自由運(yùn)動(dòng)：（1）A∈l；（2）C∈α，則C₁、O兩點(diǎn)間的最大距離為

 

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Answer 1

分析：第一步：找出點(diǎn)A、C、O之間的關(guān)系，第二步：找出點(diǎn)C₁、P、O之間的關(guān)系，第三步：求值，根據(jù)直線C₁O的長度最長=直線C₁P的長度+直線PO的長度進(jìn)行求解即可．

解答：解：第一步：找出點(diǎn)A、C、O之間的關(guān)系
按題意：直線AO垂直于直線CO，三角形AOC為直角三角形，O點(diǎn)在以AC為直徑的球面上；
設(shè)球面中心點(diǎn)為P，則點(diǎn)P位于直線AC的中點(diǎn)；
第二步：找出點(diǎn)C₁、P、O之間的關(guān)系 此時(shí)答案變?yōu)榍笄蛲庖稽c(diǎn)至球面上一點(diǎn)的距離；
按題意：存在直角三角形C₁CP，直線C₁P為斜邊（點(diǎn)C₁至球心P的距離）；
此時(shí)：存在任意三角形C₁PO，其中直線C₁P為點(diǎn)C₁至球心P的距離、直線PO為球面半徑，直線C₁O的長度是我們要的答案
至此，我們可以根據(jù)任意三角形一條邊與另外兩條邊的關(guān)系可得：直線C₁O的長度最長=直線C₁P的長度+直線PO的長度
第三步：求值 已知：AB=6，AD=8 則：AC=10，CP=

AC

2

=5 則：PO=

AC

2

=5
（1）已知：AA₁=5，CC₁=5 則：C₁P=（CC₁²+CP²）^0.5=5

2

（2）C₁、O兩點(diǎn)間的最大距離=5+5

2

故答案為：5+5

2

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了空間兩點(diǎn)的距離的最值，解題關(guān)鍵是找出垂足O點(diǎn)規(guī)律，同時(shí)考查了空間想象能力，論證推理能力，屬于中檔題．