Question

已知函數(shù)，a∈R．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)x₁，x₂，（x₁＜x₂），求證：1＜x₁＜a＜x₂＜a²．

Answer 1

解：（1）由題意，函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞），
當(dāng)a≤0時(shí)，，，
函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+∞），…3分
當(dāng)a＞0時(shí)，，…5分
若x≥a，，此時(shí)函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，
若x＜a，，此時(shí)函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，
綜上，當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+∞）；
當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，a）；單調(diào)遞增區(qū)間為（a，+∞）． …7分
（2）由（1）知，當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，
此時(shí)函數(shù)至多只有一個(gè)零點(diǎn)，不合題意； …8分
則必有a＞0，此時(shí)函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，a）；單調(diào)遞增區(qū)間為（a，+∞），
由題意，必須，解得a＞1，…10分
由，f（a）＜0，
得x₁∈（1，a），…12分
而f（a²）=a²-a-alna=a（a-1-lna），
下面證明：a＞1時(shí)，a-1-lna＞0
設(shè)g（x）=x-1-lnx，x＞1
則，
所以g（x）在x＞1時(shí)遞增，則g（x）＞g（1）=0，
所以f（a²）=a²-a-alna=a（a-1-lna）＞0，
又f（a）＜0，
所以x₂∈（a，a²），
綜上，1＜x₁＜a＜x₂＜a²． …16分
分析：（1）先求導(dǎo)數(shù)fˊ（x）然后在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，fˊ（x）＞0的區(qū)間為單調(diào)增區(qū)間，fˊ（x）＜0的區(qū)間為單調(diào)減區(qū)間．
（2）由（1）知，當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，函數(shù)至多只有一個(gè)零點(diǎn)，不合題意；則必有a＞0，此時(shí)函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，a）；單調(diào)遞增區(qū)間為（a，+∞），進(jìn)一步得出x₁∈（1，a）和x₂∈（a，a²），從而得出答案．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷．利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性的步驟是：（1）確定函數(shù)的定義域；（2）求導(dǎo)數(shù)fˊ（x）；（3）在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0；（4）確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．若在函數(shù)式中含字母系數(shù)，往往要分類討論．