Question

10．已知等比數(shù)列{a_n}中，a₁=$\frac{1}{3}$，a₄=$\frac{1}{81}$．
（1）S_n為{a_n}的前n項(xiàng)和，證明：2S_n+a_n=1；
（2）設(shè)b_n=log₃a₁+log₃a₂+…+log₃a_n，求數(shù)列{$\frac{1}{_{n}}$}的前n項(xiàng)和．

Answer 1

分析 （1）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，由a₁=$\frac{1}{3}$，a₄=$\frac{1}{81}$．可得$\frac{1}{81}$=$\frac{1}{3}×{q}^{3}$，解得q．再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式即可證明．
（2）log₃a_n=$lo{g}_{3}{3}^{-n}$=-n．可得b_n=-1-2-…-n，于是$\frac{1}{_{n}}$=-2$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，利用“裂項(xiàng)求和”即可得出．

解答 （1）證明：設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，∵a₁=$\frac{1}{3}$，a₄=$\frac{1}{81}$．∴$\frac{1}{81}$=$\frac{1}{3}×{q}^{3}$，解得q=$\frac{1}{3}$．
∴a_n=$（\frac{1}{3}）^{n}$，S_n=$\frac{\frac{1}{3}（1-\frac{1}{{3}^{n}}）}{1-\frac{1}{3}}$=$\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{3}^{n}}）$，
∴2S_n+a_n=$1-\frac{1}{{3}^{n}}$+$\frac{1}{{3}^{n}}$=1，
∴2S_n+a_n=1．
（2）解：log₃a_n=$lo{g}_{3}{3}^{-n}$=-n．
b_n=log₃a₁+log₃a₂+…+log₃a_n=-1-2-…-n=-$\frac{n（n+1）}{2}$，
∴$\frac{1}{_{n}}$=-2$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，
∴數(shù)列{$\frac{1}{_{n}}$}的前n項(xiàng)和=-2$[（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）]$
=-2$（1-\frac{1}{n+1}）$
=$\frac{-2n}{n+1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)、“裂項(xiàng)求和”方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．