Question

(2007四川，19)如下圖，四邊形PCBM是直角梯形，∠PCB=90°，PM∥BC，PM=1，BC=2，又AC=1．∠ACB=120°，AB⊥PC，直線AM與直線PC所成的角為60°．

(1)求證：平面PAC⊥平面ABC；

(2)求二面角M－AC－B的大小；

(3)求三棱錐P－MAC的體積．

Answer 1

答案：略
解析：

解析：解法一：(1)∵PC⊥AB，PC⊥BC，， ∴PC⊥平面ABC．又∵PC平面PAC， ∴平面PAC⊥平面ABC． (2)取BC的中點N，則CN=1． 連結(jié)AN、MN，∵． ∴，從而MN⊥平面ABC． 作NH⊥AC，交AC的延長線于H，連結(jié)MH，則由三垂線定理知，AC⊥MH，從而∠MHN為二面角M－AC－B的平面角． ∵直線AM與直線PC所成的角為60°， ∴∠AMN=60°． 在△ACN中，由余弦定理得 ． 在Rt△AMN中，．在Rt△CNH中， ． 在Rt△MNH，． 故二面角M－AC－B的大小為． (3)由(2)知，PCNM為正方形， ． 解法二：(1)同解法一． (2)在平面ABC內(nèi)，過C作CD⊥CB．建立空間直角坐標系C－xyz(如圖)， 由題意有． 設則， ，． 由直線AM與直線PC所成的角為60°， 得， 即，解得． ，設 平面MAC的一個法向量為 ． 則取， 得． 平面ABC的法向量取為m=(0，0，1)． 設m與n所成角為θ， 則，顯然，二面角M－AC－B的平面角為銳角，故二面角M－AC－B的大小為． (3)取平面PCM的法向量為， 則點A到平面PCM的距離． 因，