Question

在直角坐標系中，已知A（cosx，sinx），B=（1，1），O為坐標原點，，f（x）=．
（Ⅰ）求f（x）的對稱中心的坐標及其在區(qū)間[-π，0]上的單調遞減區(qū)間；
（Ⅱ）若f（x₀）=3+，x₀，求tanx₀的值．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵A（cosx，sinx），B=（1，1），
∴=（cosx，sinx），=（1，1），
∴=（1+cosx，1+sinx）…（2分）
∴f（x）==（1+cosx）²+（1+sinx）²=3+2（sinx+cosx）=3+2sin（x+）…（4分）
由x+=kπ，k∈Z，即x=kπ-，∴對稱中心是（kπ-，3），k∈Z
當2kπ+≤x+≤2kπ+時，f（x）單調遞減，即2kπ+≤x≤2kπ+，k∈Z
∴f（x）的單調遞減區(qū)間是[2kπ+，2kπ+]，k∈Z…（6分）
∴f（x）在區(qū)間[-π，0]上的單調遞減區(qū)間為[-π，-]．…（8分）
（Ⅱ）∵f（x₀）=3+2sin（x₀+）=3+，
∴sin（x₀+）=
∵x₀，∴x₀+=，∴x₀=
∴tanx₀=tan=tan（+）=-2-．…（12分）
分析：（Ⅰ）先利用向量知識，求得f（x）的解析式，再求f（x）的對稱中心的坐標及其在區(qū)間[-π，0]上的單調遞減區(qū)間；
（Ⅱ）利用f（x₀）=3+，x₀，求得x₀的值，再求tanx₀的值．
點評：本題考查向量知識的運用，考查三角函數(shù)的學生，解題的關鍵是確定函數(shù)的解析式，屬于中檔題．