（本題滿分8分）

如圖，A1A是圓柱的母線，AB是圓柱底面圓的直徑， C是底面圓周上異于A，B的任意一點，A1A= AB=2.

（Ⅰ）求證: BC⊥平面A1AC；

（Ⅱ）求三棱錐A1-ABC的體積的最大值.

 

【答案】

（Ⅰ）略

（Ⅱ）時，三棱錐A1-ABC的體積的最大值為.   

【解析】證明:∵C是底面圓周上異于A，B的任意一點，且AB是圓柱底面圓的直徑，

∴BC⊥AC, ∵AA1⊥平面ABC，BCÌ平面ABC，∴AA1⊥BC，

∵AA1∩AC=A，AA1Ì平面AA1 C，ACÌ平面AA1 C，

∴BC⊥平面AA1C. （3分）

(2)設AC=x，在Rt△ABC中， (0<x<2) ,

故(0<x<2),　　（５分）

即.

∵0<x<2，0<x2<4，∴當x2=2，

即時，三棱錐A1-ABC的體積的最大值為.　　（８分）

 

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求證：

（1）∥平面；
（2）求異面直線與所成角的余弦值.

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（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）求與平面所成角的正弦值。

 

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