Question

求函數(shù)f（x）=x²-4x+（2-a）lnx（a∈R）在區(qū)間[e，e²]上的最小值．

Answer 1

分析：先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，即f′(x)=2x-4+

2-a

x

=

2x2-4x+2-a

x

，再令g（x）=2x²-4x+2-a，對a進(jìn)行討論，從而得到
f′（x）的符號，進(jìn)而得到f（x）的單調(diào)性，從而得到函數(shù)的極值點(diǎn)、端點(diǎn)的函數(shù)值，比較極小值與端點(diǎn)函數(shù)值的大小，近而求出最小值．

解答：解：當(dāng)x∈[e，e²]時(shí)，f（x）=x²-4x+（2-a）lnx，
所以 f′(x)=2x-4+

2-a

x

=

2x2-4x+2-a

x

，
設(shè)g（x）=2x²-4x+2-a．
①當(dāng)a≤0時(shí)，有△=16-4×2（2-a）=8a≤0
所以f'（x）≥0，f（x）在[e，e²]上單調(diào)遞增．
所以f（x）_min=f（e）=e²-4e+2-a
②當(dāng)a＞0時(shí)，△=16-4×2（2-a）=8a＞0，
令f'（x）＞0，即2x²-4x+2-a＞0，解得 x＞1+

2a

2

或 x＜1-

2a

2

（舍）；
令f'（x）＜0，即2x²-4x+2-a＜0，解得 1-

2a

2

＜x＜1+

2a

2

．
1⁰若 1+

2a

2

≥e2，即a≥2（e²-1）²時(shí)，f（x）在區(qū)間[e，e²]單調(diào)遞減，
所以f（x）_min=f（e²）=e⁴-4e²+4-2a．
2⁰若 e＜1+

2a

2

＜e2，即2（e-1）²＜a＜2（e²-1）²時(shí)，f（x）在區(qū)間 [e，1+

2a

2

]上單調(diào)遞減，
在區(qū)間 [1+

2a

2

，e2]上單調(diào)遞增，所以 f(x)min=f(1+

2a

2

)=

a

2

-

2a

-3+(2-a)ln(1+

2a

2

)．
3⁰若 1+

2a

2

≤e，即0＜a≤2（e-1）²時(shí)，f（x）在區(qū)間[e，e²]單調(diào)遞增，
所以f（x）_min=f（e）=e²-4e+2-a．
綜上所述，
當(dāng)a≥2（e²-1）²時(shí)，f（x）_min=e⁴-4e²+4-2a；
當(dāng)2（e-1）²＜a＜2（e²-1）²時(shí)，f(x)min=

a

2

-

2a

-3+(2-a)ln(1+

2a

2

)；
當(dāng)a≤2（e-1）²時(shí)，f（x）_min=e²-4e+2-a．

點(diǎn)評：本題考查了復(fù)合函數(shù)的在閉區(qū)間上的最值問題，還有分類討論的思想，屬于中檔題．