Question

已知函數(shù)f(x)=2cosxsin(x+

π

3

)-

3

sin2x+sinxcosx+2（x∈R），
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間；
（2）函數(shù)f（x）的圖象可以由函數(shù)y=sinx（x∈R）的圖象經(jīng)過(guò)怎樣的變換得到？

Answer 1

分析：（1）利用兩角和公式和二倍角公式對(duì)函數(shù)解析式進(jìn)行化簡(jiǎn)整理求得函數(shù)的解析式，進(jìn)而利用T=

2π

w

求得最小正周期，根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性求得單調(diào)增區(qū)間；
（2）利用左加右減，上加下減的原則，將函數(shù)y=sinx縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)擴(kuò)大2倍得到y(tǒng)=sin2x，再向左平移

π

6

個(gè)單位得到函數(shù)y=sin（2x+

π

3

）縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)擴(kuò)大2倍得到y(tǒng)=2sin（2x+

π

3

），再把圖象向上平移2個(gè)單位得到函數(shù)y=2sin（2x+

π

3

）+2

解答：解：（1）f(x)=2cosxsin(x+

π

3

)-

3

sin2x+sinxcosx+2=2sin（2x+

π

3

）+2
∴最小正周期T=

2π

2

=π，當(dāng)2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

時(shí)，即kπ-

5π

12

≤x≤kπ+

π

12

，函數(shù)單調(diào)增
∴函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為：[kπ-

5π

12

，kπ+

π

12

]（k∈Z）
（2）由函數(shù)y=sinx縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)擴(kuò)大2倍得到y(tǒng)=sin2x，再向左平移

π

6

個(gè)單位得到函數(shù)y=sin（2x+

π

3

）
縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)擴(kuò)大2倍得到y(tǒng)=2sin（2x+

π

3

），再把圖象向上平移2個(gè)單位得到函數(shù)y=2sin（2x+

π

3

）+2

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了三角函數(shù)的基本性質(zhì)和三角函數(shù)的圖象變換．考查了學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)綜合運(yùn)用．