(2013•廣州一模)如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,△ABC是邊長為2的等邊三角形,AA1⊥平面ABC,D,E分別是CC1,AB的中點(diǎn).
(1)求證:CE∥平面A1BD;
(2)若H為A1B上的動(dòng)點(diǎn),當(dāng)CH與平面A1AB所成最大角的正切值為
15
2
時(shí),求平面A1BD與平面ABC所成二面角(銳角)的余弦值.
分析:(1)通過補(bǔ)形,延長延長A1D交AC的延長線于點(diǎn)F,連接BF,從而可證明CE∥BF,然后由線面平行的判定定理得證;
(2)由已知找出C點(diǎn)在平面A1AB上的射影CE,CE為定值,要使直線CH與平面A1AB所成最大角的正切值為
15
2
,則點(diǎn)H到E點(diǎn)的距離應(yīng)最小,由此得到H的位置,進(jìn)一步求出EH的長度,則在直角三角EHB中可得到BH的長度,利用已知條件證出BF⊥平面A1AB,從而得到∠EBH為平面A1BD與平面ABC所成的二面角,在直角三角形EHB中求其余弦值.
本題也可以A為坐標(biāo)原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系,利用空間向量解決.
解答:法一、
(1)證明:如圖,

延長A1D交AC的延長線于點(diǎn)F,連接BF.
∵CD∥AA1,且CD=
1
2
AA1,
∴C為AF的中點(diǎn).
∵E為AB的中點(diǎn),
∴CE∥BF.
∵BF?平面A1BD,CE?平面A1BD,
∴CE∥平面A1BD.
(2)解:∵AA1⊥平面ABC,CE?平面ABC,
∴AA1⊥CE.
∵△ABC是邊長為2的等邊三角形,E是AB的中點(diǎn),
∴CE⊥AB,CE=
3
2
AB=
3

∵AB?平面A1AB,AA1?平面A1AB,AB∩AA1=A,
∴CE⊥平面A1AB.
∴∠EHC為CH與平面A1AB所成的角.
CE=
3

在Rt△CEH中,tan∠EHC=
CE
EH
=
3
EH

∴當(dāng)EH最短時(shí),tan∠EHC的值最大,則∠EHC最大.
∴當(dāng)EH⊥A1B時(shí),∠EHC最大.此時(shí),tan∠EHC=
CE
EH
=
3
EH
=
15
2

EH=
2
5
5

∵CE∥BF,CE⊥平面A1AB,
∴BF⊥平面A1AB.
∵AB?平面A1AB,A1B?平面A1AB,
∴BF⊥AB,BF⊥A1B.
∴∠ABA1為平面A1BD與平面ABC所成二面角(銳角).
在Rt△EHB中,BH=
EB2-EH2
=
5
5
,cos∠ABA1=
BH
EB
=
5
5

∴平面A1BD與平面ABC所成二面角(銳角)的余弦值為
5
5

法二、
(1)證明:如圖,

取A1B的中點(diǎn)F,連接DF、EF.
∵E為AB的中點(diǎn),
∴EF∥AA1,且EF=
1
2
AA1

∵CD∥AA1,且CD=
1
2
AA1,
∴EF∥CD,EF=CD.
∴四邊形EFDC是平行四邊形.
∴CE∥DF.
∵DF?平面A1BD,CE?平面A1BD,
∴CE∥平面A1BD.
(2)解:∵AA1⊥平面ABC,CE?平面ABC,
∴AA1⊥CE.
∵△ABC是邊長為2的等邊三角形,E是AB的中點(diǎn),
∴CE⊥AB,CE=
3
2
AB=
3

∵AB?平面A1AB,AA1?平面A1AB,AB∩AA1=A,
∴CE⊥平面A1AB.
∴∠EHC為CH與平面A1AB所成的角.
CE=
3

在Rt△CEH中,tan∠EHC=
CE
EH
=
3
EH
,
∴當(dāng)EH最短時(shí),tan∠EHC的值最大,則∠EHC最大.
∴當(dāng)EH⊥A1B時(shí),∠EHC最大.此時(shí),tan∠EHC=
CE
EH
=
3
EH
=
15
2

EH=
2
5
5

在Rt△EHB中,BH=
EB2-EH2
=
5
5

∵Rt△EHB~Rt△A1AB,
EH
AA1
=
BH
AB
,即
2
5
5
AA1
=
5
5
2

∴AA1=4.
以A為原點(diǎn),與AC垂直的直線為x軸,AC所在的直線為y軸,AA1所在的直線為z軸,
建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz.
則A(0,0,0),A1(0,0,4),B(
3
,1,0)
,D(0,2,2).
AA1
=(0,0,4),
A1B
=(
3
,1,-4)
,
A1D
=(0,2,-2).
設(shè)平面A1BD的法向量為n=(x,y,z),
n
A1B
=0
,
n
A1D
=0
,
3
x+y-4z=0
2y-2z=0
,令y=1,則z=1,x=
3

∴平面A1BD的一個(gè)法向量為n=(
3
,1,1)

∵AA1⊥平面ABC,∴
AA1
=(0,0,4)是平面ABC的一個(gè)法向量.
∴cos?n,
AA1
>=
n•
AA1
|n||
AA1
|
=
5
5

∴平面A1BD與平面ABC所成二面角(銳角)的余弦值為
5
5
點(diǎn)評(píng):本小題主要考查空間線面位置關(guān)系、直線與平面所成的角、二面角等基礎(chǔ)知識(shí),考查空間想象、推理論證、抽象概括和運(yùn)算求解能力,以及化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法.是中檔題.
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1
0
cosx
dx=
sin1
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8
8
,f(n)=
n2-n+2
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2-x
+ln(x-1)
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(1,2]
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x2
2
-
x3
3
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x2n-1
2n-1
,x∈R

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