Question

在四棱錐O-ABCD中，OA⊥平面ABCD，底面ABCD為矩形，AB=OA=tBC（t＞0）．
（I）當(dāng)t=1時(shí)，求證：BD⊥DC；
（II）若BC邊有且僅有一個(gè)點(diǎn)E，使得OE⊥ED，求此時(shí)二面角A-CD-E的正切值．

Answer 1

【答案】分析：（I）t=1⇒底面ABCD為正方形⇒BD⊥AC⇒BD⊥面OAC⇒BD⊥OC
（II）由AB，AD，AO兩兩垂直，分別以它們所在直線為x軸、y軸、z軸建立坐標(biāo)系，令A(yù)B=1⇒，設(shè)BE=m，由BC邊上有且僅有一個(gè)點(diǎn)E，使得OE⊥ED時(shí)，E為BC的中點(diǎn)，且，m=1，再分別求得面OED的法向量與平面OAD的法向量，用向量夾角公式求得二面角．
解答：解：（I）當(dāng)t=1時(shí)底面ABCD為正方形，
∴BD⊥AC
又因?yàn)锽D⊥OA，∴BD⊥面OAC
又OC?面OAC，∴BD⊥OC（5分）
（II）因?yàn)锳B，AD，AO兩兩垂直，分別以它們所在
直線為x軸、y軸、z軸建立坐標(biāo)系，如圖所示，令A(yù)B=1，
可得則B（1，0，0），（7分）
設(shè)BE=m，則E（1，m，0）
要使OE⊥ED，只要即tm²-m+t=0
∵BC邊有且僅有一個(gè)點(diǎn)E，使得OE⊥ED．∴△=0⇒t=，此時(shí)m=1．
所以BC邊上有且僅有一個(gè)點(diǎn)E，使得OE⊥ED時(shí)，E為BC的中點(diǎn)，且（9分）
設(shè)面OED的法向量=（x，y，1）
則即解得
取平面OAD的法向量=（1，0，0）則（•）的大小與二面角A-DO-E的大小相等或互補(bǔ)．
所以cos＜•＞=．
因此二面角A-OD-E的正切值為．（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查線線，線面，面面垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化和向量法求二面角問(wèn)題．