Question

已知函數(shù)f(x)＝－x²＋8x，g(x)＝6lnx＋m，

(1)求f(x)在區(qū)間[t，t＋1]上的最大值h(t)；

(2)是否存在實數(shù)m，使得y＝f(x)的圖象與y＝g(x)的圖象有且只有三個不同的交點？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)f(x)＝－x2＋8x＝－(x－4)2＋16． 　　當(dāng)t＋1＜4，即t＜3時，f(x)在[t，t＋1]上單調(diào)遞增， 　　h(t)＝f(t＋1)＝－(t＋1)2＋8(t＋1)＝－t2＋6t＋7； 　　當(dāng)t≤4≤t＋1，即3≤t≤4時，h(t)＝f(4)＝16； 　　當(dāng)t＞4時，f(x)在[t，t＋1]上單調(diào)遞減， 　　h(t)＝f(t)＝－t2＋8t． 　　綜上，h(t)＝ 　　(2)函數(shù)y＝f(x)的圖象與y＝g(x)的圖象有且只有三個不同的交點，即函數(shù)φ(x)＝g(x)－f(x)的圖象與x軸的正半軸有且只有三個不同的交點． 　　∵φ(x)＝x2－8x＋6lnx＋m， 　　∴(x)＝2x－8＋(x＞0)， 　　當(dāng)x∈(0，1)時，(x)＞0，φ(x)是增函數(shù)； 　　當(dāng)x∈(1，3)時，(x)＜0，φ(x)是減函數(shù)； 　　當(dāng)x∈(3，＋∞)時，(x)＞0，φ(x)是增函數(shù)； 　　當(dāng)x＝1或x＝3時，(x)＝0． 　　∴φ(x)max＝φ(1)＝m－7， 　　φ(x)min＝φ(3)＝m＋6ln3－15． 　　∵當(dāng)x充分接近0時，φ(x)＜0；當(dāng)x充分大時，φ(x)＞0．∴要使φ(x)的圖象與x軸正半軸有三個不同的交點，必須且只需 　　 　　即7＜m＜15－6ln3． 　　∴存在實數(shù)m，使得函數(shù)y＝f(x)與y＝g(x)的圖象有且只有三個不同的交點，m的取值范圍為(7，15－6ln3)．