Question

函數(shù)f（x）是定義域為R的偶函數(shù)，對任意x∈R均有f（x+4）=f（x），當x∈[0，2]時，f（x）=log_a（4-x）（a＞1）
（1）當x∈[-2，0]時，求f（x）的表達式；
（2）當x∈[4k-2，4k+2]（k∈z）時，求f（x）的表達式；
（3）若f（x）的最大值為2，解關(guān)于x的不等式f（x）＞log₂3．

Answer 1

考點：奇偶性與單調(diào)性的綜合,函數(shù)奇偶性的性質(zhì),抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）當x∈[-2，0]時，f（x）=f（-x），代入即可得到；
（2）由f（x+4）=f（x）可得4是f（x）的周期，當x∈[4k-2，4k]時，x-4k∈[-2，0），代入可得f（x）=log_a[4+（x-4k）]；
當x∈[4k，4k+2]（k∈Z）時，x-4k∈[0，2]，代入可得f（x）=f（x-4k）=log_a[4-（x-4k）]；
（3）f（x）的最大值為2，求出a=2，再求x∈[-2，2時的解集，利用周期為4，可得不等式的解集．

解答： 解：（1）當x∈[-2，0]時，f（x）=f（-x）=log_a[4-（-x）]=log_a（4+x）；
（2）當x∈[4k-2，4k]（k∈z）時，x-4k∈[-2，0]，
f（x）=f（x-4k）=log_a[4+（x-4k）]．
當x∈[4k，4k+2]（k∈Z）時，x-4k∈[0，2]，
f（x）=f（x-4k）=log_a[4-（x-4k）]．
故當x∈[4k-2，4k+2]（k∈Z）時，f（x）的表達式為
f（x）=

loga[4+(x-4k)]，x∈[4k-2，4k) loga[4-(x-4k)]，x∈[4k，4k+2]

；
（3）∵f（x）是以4為周期的周期函數(shù)，且為偶函數(shù)，
∴f（x）的最大值就是當x∈[0，2]時，f（x）的最大值．
∵a＞1，∴f（x）=log_a（4-x）在[0，2]上是減函數(shù)，
∴f（x）的最大值為f（0）=log_a4=2，∴a=2．
當x∈[-2，2]時，f（x）=log₂（4-|x|），
由f（x）＞log₂3，即有4-|x|＞3，
解得-1＜x＜1．
∵f（x）是以4為周期的周期函數(shù)，
∴f（x）＞log₂3的解集為（4k-1，4k+1）（k∈Z）．

點評：本題主要考查周期函數(shù)，解題的關(guān)鍵是正確利用周期，及已知定義域上的解析式，屬于中檔題．