Question

如圖，在棱長為a的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，點E是棱D₁D的中點，點F在棱B₁B上，
（1）當滿足B₁F=2FB．在棱C₁C上確定一點G，使A，E，G，F(xiàn)四點共面，并求此時C₁G的長；
（2）當點F在棱B₁B上移動時，求三棱錐F-ADE的體積．

Answer 1

考點：點、線、面間的距離計算,棱柱、棱錐、棱臺的體積

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）取C₁C的中點H，連結BH，在平面BB₁C₁C中，過點F作FG∥BH，則FG∥AE．連結EG，則A，E，G，F(xiàn)四點共面．由此能求出當C₁G=

1

6

a時，A，E，G，F(xiàn)四點共面．
（2）由已知得S_△ADE=

1

2

×AD×DE=

1

2

a×

1

2

a=

1

4

a2，點F到平面ADE的距離h=a，由此能求出三棱錐F-ADE的體積．

解答： （1）解：取C₁C的中點H，連結BH，則BH∥AE．
在平面BB₁C₁C中，過點F作FG∥BH，則FG∥AE．
連結EG，則A，E，G，F(xiàn)四點共面．
因為CH=

1

2

C₁C=

1

2

a，HG=BF

1

3

C₁C=

1

3

a，
所以C₁G=C₁C-CH-HG=

1

6

a．
故當C₁G=

1

6

a時，A，E，G，F(xiàn)四點共面．
（2）解：∵在棱長為a的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，點E是棱D₁D的中點，
∴S_△ADE=

1

2

×AD×DE=

1

2

a×

1

2

a=

1

4

a2，
又∵BB₁∥平面ADE，且BB₁到平面ADE的距離為a，點F在棱B₁B上移動，
∴點F到平面ADE的距離h=a，
∴V_F-ADE=

1

3

S△ADE•h=

1

3

×

a2

4

×a=

a3

12

．

點評：本小題主要考查空間線面關系、幾何體的體積等知識，考查數(shù)形結合、化歸與轉化的數(shù)學思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力．