Question

已知函數(shù)f(x)=sin

x

2

cos

x

2

+cos2

x

2

-

1

2

．
（1）若f(a)=

2

4

，a∈(0，π)，求a的值；
（2）求此函數(shù)的最小正周期 及單調(diào)減區(qū)間；
（3）求函數(shù)f（x）[-

π

4

，π]的最小值．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角公式、輔助角公式化簡函數(shù)，結(jié)合f(a)=

2

4

，a∈(0，π)，可求α的值；
（2）利用函數(shù)解析式，可求此函數(shù)的最小正周期及單調(diào)減區(qū)間；
（3）根據(jù)[-

π

4

，π]，x+

π

4

∈[0，

5π

4

]，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)，即可求出最小值．

解答：解：（1）f(x)=sin

x

2

cos

x

2

+cos2

x

2

-

1

2

=

1

2

sinx+

1

2

cosx=

2

2

sin(x+

π

4

)，
∵f(a)=

2

4

，a∈(0，π)，
∴sin(x+

π

4

)=

1

2

，
∴α=

7π

12

；
（2）T=

2π

1

=2π，
由x+

π

4

∈[

π

2

+2kπ，

3π

2

+2kπ]，可得函數(shù)單調(diào)減區(qū)間為[

π

4

+2kπ，

5π

4

+2kπ]（k∈Z）；
（3）∵x∈[-

π

4

，π]，∴x+

π

4

∈[0，

5π

4

]，
∴sin（x+

π

4

）∈[-

2

2

，1]，
∴

2

2

sin（x+

π

4

）∈[-

1

2

，

2

2

]，
∴函數(shù)在[-

π

4

，π]上的最小值為-

1

2

．

點(diǎn)評：本題考查三角函數(shù)的化簡，考查三角函數(shù)的性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，正確化簡函數(shù)是關(guān)鍵．