Question

已知函數(shù)f（x）=-x³+3x²+9x+a在區(qū)間[-2，2]上存在零點，那么實數(shù)a的取值范圍是

-22≤m≤6

．

Answer 1

分析：利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間及極大值、極小值、f（-2）、f（2），結(jié)合函數(shù)f（x）的圖象，先求出函數(shù)f（x）=x³-3x+m在[0，2]上不存在零點時m的范圍，然后求其補集即可．

解答：解：①f′（x）=-3x²+6x+9=-3（x+1）（x-3），
當x＜-1或x＞3時，f′（x）＜0，當-1＜x＜3時，f′（x）＞0，
所以f（x）在（-∞，-1），（3，+∞）上單調(diào)遞減；在（-1，3）上單調(diào)遞增．
所以當x=-1時f（x）取得極小值f（-1）=-6+a，f（-2）=2+a，f（2）=22+a．
由于函數(shù)f（x）=-x³+3x²+9x+a在區(qū)間[-2，2]上存在零點，
則

f(-1)=-6+a≤0 f(2)=22+a≥0

  解得-22≤m≤6，
所以當函數(shù)f（x）=-x³+3x²+9x+a在區(qū)間[-2，2]上存在零點時，實數(shù)a的取值范圍是[-22，6]．
故答案為：-22≤m≤6．

點評：本題考查應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值問題，考查分析問題解決問題的能力以及數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．