設
a
=（1-cosα，sinα），
b
=（1+cosβ，sinβ），
c
=（1，0），α、β∈（0，π），
a
與
c
的夾角為θ1，
b
與
c
的夾角為θ2，且θ1-θ2=
π
3
．
（1）求cos（α+β）的值；（2）設
OA
=
a
，
OB
=
b
，
OD
=
d
，且
a
+
b
+
d
=3
c
求證：△ABD是正三角形．
分析：（1）由向量的數(shù)量積的坐標表示，求出cosθ1= sin
α
2
，cosθ2=cos
β
2
，結合已知可得θ1= 
π
2
-
α
2
，θ2=
β
2
，從而求出α+β=
π
3
，cos(α+β)=
1
2

（2）利用向量的加法、減法把向量
AB
，
AD
，
BD
的坐標表示出，然后求出向量的模|
AB
|，|
AD
|，|
BD
|，從而判斷△ABD為等邊三角形
解答：解：（1）∵α、β∈（0，π），
∴
α
2
、
β
2
∈（0，
π
2
），
故cosθ1=
a•c
|a||c|
=
1-cosα
2-2cosα
=
1-cosα
2
=sin
α
2
=cos(
π
2
-
α
2
)，
cosθ2=
b•c
|b||c|
=
1+cosβ
2+2cosβ
=
1+cosβ
2
=cos
β
2
，
∴θ1=
π
2
-
α
2
，θ2=
β
2
．
又θ1-θ2=
π
3
，即
π
2
-
α
2
-
β
2
=
π
3
，可得α+β=
π
3
，故cos（α+β）=
1
2
．

（2）∵
AB
=
OB
-
OA
=
b
-
a
=（cosβ+cosα，sinβ-sinα），
∴|
AB
|=
(cosβ+cosα)2+(sinβ-sinα)2
=
2+2cos(β+α)
=
3
，
由
a
+ 
b
+
d
=3
c
，可得
d
=3
c
-
a
-
b
=（1+cosα-cosβ，-sinα-sinβ），
∵
AD
=
OD
-
OA
=
d
-
a
=（2cosα-cosβ，-2sinα-sinβ），
∴|
AD
|=
(2cosα-cosβ)2+(2sinα+sinβ)2
=
5-4cos(β-α)
=
3
，
同理可得|
BD
|=
3
，故|
AB
|=|
AD
|=|
BD
|，故△ABD是正三角形．
點評：本題綜合考查向量數(shù)量積的定義及數(shù)量積的坐標表示，三角函數(shù)的誘導公式，由向量的坐標求模的求法，綜合知識點較多，但都是基本運用，難度不大．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設
a
=（1+cosα，sinα），
b
=（1-cosβ，sinβ），
c
=（1，0），α∈（0，π），β∈（π，2π），
a
與
c
的夾角為θ1，
b
與
c
夾角為θ2，且θ1-θ2=
π
6
，求sin
α-β
4
的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設
a
=（1+cos x，1+sin x），
b
=（1，0），
c
=（1，2）．
（1）求證：（
a
-
b
）⊥（
a
-
c
）；
（2）求|
a
|的最大值，并求此時x的值．φ

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科目：高中數(shù)學 來源：咸安區(qū)模擬 題型：解答題

設
a
=（1+cosα，sinα），
b
=（1-cosβ，sinβ），
c
=（1，0），α∈（0，π），β∈（π，2π），
a
與
c
的夾角為θ1，
b
與
c
夾角為θ2，且θ1-θ2=
π
6
，求sin
α-β
4
的值．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

設
a
=（1-cosα，sinα），
b
=（1+cosβ，sinβ），
c
=（1，0），α、β∈（0，π），
a
與
c
的夾角為θ1，
b
與
c
的夾角為θ2，且θ1-θ2=
π
3
．
（1）求cos（α+β）的值；（2）設
OA
=
a
，
OB
=
b
，
OD
=
d
，且
a
+
b
+
d
=3
c
求證：△ABD是正三角形．

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