Question

2．對于函數(shù)f（x）與g（x），若區(qū)間[a，b]上|f（x）-g（x）|的最大值稱為f（x）與g（x）的“絕對差”，則f（x）=$\frac{1}{x+1}$，g（x）=$\frac{2}{9}$x²-x在[1，4]上的“絕對差”為（　�。�

• A． $\frac{271}{72}$
• B． $\frac{23}{18}$
• C． $\frac{29}{45}$
• D． $\frac{13}{9}$

Answer 1

分析 由已知中關(guān)于f（x）與g（x）在閉區(qū)間[a，b]上的“絕對差”的定義，我們構(gòu)造函數(shù)F（x）=f（x）-g（x）=$\frac{1}{x+1}$-（$\frac{2}{9}$x²-x），根據(jù)函數(shù)的值域，及分析出F（x）＞0恒成立，再根據(jù)x∈[1，4]時F（x）的單調(diào)性，可得當(dāng)x=2時F（x）=f（x）-g（x）取最大值，代入計算即可得到答案．

解答 解：令F（x）=f（x）-g（x）=$\frac{1}{x+1}$-（$\frac{2}{9}$x²-x），x∈[1，4]，
F′（x）=-$\frac{1}{（x+1）^{2}}$-$\frac{4}{9}$x+1，
令F′（x）＞0，則1＜x＜2；令F′（x）＜0，則2＜x＜4．
即F（x）在（1，2）遞增；在（2，4）遞減．
則F（1）=$\frac{1}{2}$-（$\frac{2}{9}$-1）=$\frac{23}{18}$，F(xiàn)（4）=$\frac{1}{5}$-（$\frac{32}{9}$-4）=$\frac{29}{45}$，
即有x=2處取得最大值，且為$\frac{1}{3}$-（$\frac{8}{9}$-2）=$\frac{13}{9}$．
故函數(shù)的絕對差為$\frac{13}{9}$．
故選：D．

點評 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、函數(shù)的單調(diào)性、不等式的解法，意在考查考生對新概念的理解，導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的綜合應(yīng)用，考查綜合分析、解決問題的能力．