Question

在數(shù)列{a_n}中，已知a₁=p＞0，且．
（1）若數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，求p的值；
（2）求數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n；
（3）當(dāng)n≥2時(shí)，求證：．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)數(shù)列{a_n}的公差為d，由題意得[a₁+（n-1）d]（a₁+nd）=n²+3n+2對(duì)n∈N*恒成立，即，求出首項(xiàng)和公差，再由a₁=p＞0，求得p的值．
（2）由條件可得 =，①當(dāng)n為奇數(shù)，求得a_n=p，即當(dāng)n=1時(shí)也符合．②當(dāng)n為偶數(shù)，由題意可得 a_n=a₂ ，因?yàn)閍₁?a₂=6，由此求得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
再用裂項(xiàng)法和放縮法證明兩種情況下S_n的值都大于．
解答：解：（1）設(shè)數(shù)列{a_n}的公差為d，則a_n=a₁+（n-1）d，a_n+1=a₁+nd．由題意得，[a₁+（n-1）d]（a₁+nd）=n²+3n+2對(duì)n∈N*恒成立．
即d²n²+（2a₁d-d²）n+（a₁²-a₁d）=n²+3n+2． 所以，即或．
因?yàn)閍₁=p＞0，故p的值為2． …（3分）
（2）因?yàn)閍_n+1?a_n=n²+3n+2=（n+1）（n+2），所以a_n+2?a_n+1=（n+2）（n+3）． 所以=．  …（5分）
①當(dāng)n為奇數(shù)，且n≥3時(shí)，=，=，…，=． 相乘得=，所以a_n=p．當(dāng)n=1時(shí)也符合．
②當(dāng)n為偶數(shù)，且n≥4時(shí)，=，=，…，=．  相乘得=，所以a_n=a₂．
因?yàn)閍₁?a₂=6，所以a₂=．  所以a_n=，當(dāng)n=2時(shí)也符合． 所以數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=．  …（7分）
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，S_n=p++2p++…+p+=p?+=p+．
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，S_n=p++2p++3p++…++p=p?+?=p+．
所以S_n=．  …（10分）
（3）當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，=+++…++≥4（++…+）=4[++…+]
＞2[+++…++]
=2（-+-+…+-）=．…（13分）
當(dāng)n為奇數(shù)，且n≥2時(shí)，=+++…++
≥4（++…+）+＞4（++…+）
＞2（++…++）=．…（15分）
又因?yàn)閷?duì)任意n∈N^*，都有＜，
故當(dāng)n≥2時(shí)，＞．…（16分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等差數(shù)列的定義和性質(zhì)，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，數(shù)列與不等式綜合，用裂項(xiàng)法進(jìn)行數(shù)列求和，用放縮法證明不等式，屬于難題．