【答案】
分析:(1)設(shè)數(shù)列{a
n}的公差為d,由題意得[a
1+(n-1)d](a
1+nd)=n
2+3n+2對(duì)n∈N*恒成立,即

,求出首項(xiàng)和公差,再由a
1=p>0,求得p的值.
(2)由條件可得

=

,①當(dāng)n為奇數(shù),求得a
n=

p,即當(dāng)n=1時(shí)也符合.②當(dāng)n為偶數(shù),由題意可得 a
n=

a
2 ,因?yàn)閍
1?a
2=6,由此求得數(shù)列{a
n}的通項(xiàng)公式.
再用裂項(xiàng)法和放縮法證明兩種情況下S
n的值都大于

.
解答:解:(1)設(shè)數(shù)列{a
n}的公差為d,則a
n=a
1+(n-1)d,a
n+1=a
1+nd.由題意得,[a
1+(n-1)d](a
1+nd)=n
2+3n+2對(duì)n∈N*恒成立.
即d
2n
2+(2a
1d-d
2)n+(a
12-a
1d)=n
2+3n+2. 所以

,即

或

.
因?yàn)閍
1=p>0,故p的值為2. …(3分)
(2)因?yàn)閍
n+1?a
n=n
2+3n+2=(n+1)(n+2),所以a
n+2?a
n+1=(n+2)(n+3). 所以

=

. …(5分)
①當(dāng)n為奇數(shù),且n≥3時(shí),

=

,

=

,…,

=

. 相乘得

=

,所以a
n=

p.當(dāng)n=1時(shí)也符合.
②當(dāng)n為偶數(shù),且n≥4時(shí),

=

,

=

,…,

=

. 相乘得

=

,所以a
n=

a
2.
因?yàn)閍
1?a
2=6,所以a
2=

. 所以a
n=

,當(dāng)n=2時(shí)也符合. 所以數(shù)列{a
n}的通項(xiàng)公式為a
n=

. …(7分)
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),S
n=p+

+2p+

+…+

p+

=p?

+

=

p+

.
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),S
n=p+

+2p+

+3p+

+…+

+

p=p?

+

?

=

p+

.
所以S
n=

. …(10分)
(3)當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),

=

+

+

+…+

+

≥4(

+

+…+

)=4[

+

+…+

]
>2[

+

+

+…+

+

]
=2(

-

+

-

+…+

-

)=

.…(13分)
當(dāng)n為奇數(shù),且n≥2時(shí),

=

+

+

+…+

+

≥4(

+

+…+

)+

>4(

+

+…+

)
>2(

+

+…+

+

)=

.…(15分)
又因?yàn)閷?duì)任意n∈N
*,都有

<

,
故當(dāng)n≥2時(shí),

>

.…(16分)
點(diǎn)評(píng):本題主要考查等差數(shù)列的定義和性質(zhì),等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,數(shù)列與不等式綜合,用裂項(xiàng)法進(jìn)行數(shù)列求和,用放縮法證明不等式,屬于難題.