Question

（2011•浙江模擬）已知直線l：y=2x-1與拋物線C：y²=2px（p＞0）交于A、B兩點(diǎn)，若拋物線上存在點(diǎn)M，使△MAB的重心恰好是拋物線C的焦點(diǎn)F，則p=

2

．

Answer 1

分析：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x₃，y₃），F(xiàn)（

p

2

，0），聯(lián)立方程

y=2x-1 y2=2px

整理可得，4x²-2（p+2）x+1=0，根據(jù)方程的根與系數(shù)的關(guān)系可得•x₁+x₂，進(jìn)而可得y₁+y₂=，代入三角形的重心坐標(biāo)公式可得，

p 2 = x1+x2+x3 3 0= y1+y2+y3 3

可求M，代入拋物線的方程可求P

解答：解：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x₃，y₃），F(xiàn)（

p

2

，0）
聯(lián)立方程

y=2x-1 y2=2px

整理可得，4x²-2（p+2）x+1=0
∴x1+x2=

p+2

2

，y₁+y₂=2（x₁+x₂）-2=p
由三角形的重心坐標(biāo)公式可得，

p 2 = x1+x2+x3 3 0= y1+y2+y3 3

∴

x3= p-1 y3=-p

，代入拋物線的方程可得（-p）²=2p（p-1）
∴p=2
故答案為：2

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與拋物線的相交關(guān)系的應(yīng)用，方程的根與系數(shù)關(guān)系及三角形的重心坐標(biāo)公式的綜合應(yīng)用．