Question

已知函數(shù)f（x）=的圖象為曲線C，函數(shù)g（x）=ax+b的圖象為直線l．
（1）當(dāng)a=2，b=-3時(shí)，求F（x）=f（x）-g（x）的最大值；
（2）設(shè)直線l與曲線C的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x₁，x₂，且x₁≠x₂，求證：（x₁+x₂）g（x₁+x₂）＞2．

Answer 1

【答案】分析：（1）由a=2，b=-3，知，x∈（0，1），F(xiàn)'（x）＞0，F(xiàn)'（x）單調(diào)遞增，x∈（1，+∞），F(xiàn)'（x）＜0，F(xiàn)'（x）單調(diào)遞減，由此能求出F（x）=f（x）-g（x）的最大值．
（2）設(shè)x₁＜x₂，要證（x₁+x₂）g（x₁+x₂）＞2，只需證，由此入手，能夠證明（x₁+x₂）g（x₁+x₂）＞2．
解答：解：（1）∵，
，
x∈（0，1），F(xiàn)'（x）＞0，F(xiàn)'（x）單調(diào)遞增，
x∈（1，+∞），F(xiàn)'（x）＜0，F(xiàn)'（x）單調(diào)遞減，
∴F（x）_max=F（1）=2
（2）不妨設(shè)x₁＜x₂，要證（x₁+x₂）g（x₁+x₂）＞2，只需證，
，，
∵，
∴，即 ，∴，
令，x∈（x₁，+∞）．只需證，
，令 ，則 ，G（x）在x∈（x₁，+∞）單調(diào)遞增．
G（x）＞G（x₁）=0，∴H′（x）＞0，∴H（x）在x∈（x₁，+∞）單調(diào)遞增．H（x）＞H（x₁）=0，
H（x）=（x+x₁）ln-2（x-x₁）＞0，∴（x₁+x₂）g（x₁+x₂）＞2．
點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．對(duì)數(shù)學(xué)思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強(qiáng)，難度大，是高考的重點(diǎn)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．