Question

已知函數(shù)y=a^x-|x|-1（a＞0且a≠1）有且只有一個零點，則實數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A、[e，+∞）
• B、（0，

  1

  e

  ]
• C、（0，

  1

  e

  ]∪[e，+∞）
• D、[

  1

  e

  ，1）∪（1，e]

Answer 1

考點：函數(shù)零點的判定定理

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：由于x=0為函數(shù)的一個零點，∴要求在其余范圍內(nèi)無零點，即要求（1）在a＞1時，a^x＞x+1恒成立；（2）0＜a＜1時，a^x＜-x+1恒成立．分別利用導數(shù)可求．

解答： 解：由于x=0為函數(shù)的一個零點，∴要求在其余范圍內(nèi)無零點，
即要求（1）在a＞1時，a^x＞x+1恒成立；（2）0＜a＜1時，a^x＜-x+1恒成立．
對于（1），令g（x）=a^x-x-1，g′（x）=a^xlna-1，g″（x）=a^x（lna）²＞0，
故g′（x）單調(diào)遞增，只需g′（0）=lna-1≥0，即a≥e；
對于（2），令h（x）=a^x+x-1，h′（x）=a^xlna+1，h（0）=0，故在x∈（-∞，0）內(nèi)，h′（x）≤0恒成立，
h′（x）=a^xlna+1，h″（x）=a^x（lna）²＞0，故只需h′（x）=lna+1≤0，即0＜a≤

1

e

．
綜上，實數(shù)a的取值范圍是（0，

1

e

]∪[e，+∞），
故選C．

點評：該題考查函數(shù)的零點判定定理、利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性等知識，屬中檔題．