Question

已知函數(shù)f（x）=

1

ax+2

（x∈R，a為常數(shù)），P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂）是函數(shù)y=f（x）圖象上的兩點(diǎn)．當(dāng)線段P₁P₂的中點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為

1

2

時(shí)，P的縱坐標(biāo)恒為

1

4

．
（1）求y=f（x）的解析式；
（2）若數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=f（

n

n0

）（n₀∈N^*，n=1，2，…，n），求數(shù)列{a_n}的前n₀和S_n0．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）根據(jù)點(diǎn)P的坐標(biāo)與函數(shù)之間的關(guān)系，即可求y=f（x）的解析式；
（2）求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用構(gòu)造方程即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）由y=f（x）的圖象上得y1=

1

ax1+2

，y2=

1

ax2+2

，
兩式相加得

1

2

=

1

ax1+2

+

1

ax2+2

，化簡得ax1+x2=4恒成立．
∵x₁+x₂=1，∴a=4，
∴f(x)=

1

4x+2

．
（2）

k n0 + n0-k n0

2

=

1

2

(k=1，2，3，…，n0-1)，
∴由已知條件得

f( k n0 )+f( n0-k n0 )

2

=

1

4

，即f(

k

n0

)+f(

n0-k

n0

)=

1

2

，
∴Sn=f(

1

n0

)+f(

2

n0

)+f(

3

n0

)+…+f(

n0-1

n0

)+f(

n0

n0

)，
∴Sn0=f(

n0-1

n0

)+f(

n0-2

n0

)+…+f(

3

n0

)+f(

2

n0

)+f(

1

n0

)+f(

n0

n0

)，兩式相加得：
2Sn0=[f(

1

n0

)+f(

n0-1

n0

)]+[f(

2

n0

)+f(

n0-2

n0

)]+…+[f(

n0-2

n0

)+f(

2

n0

)]+[f(

n0-1

n0

)+f(

1

n0

)]+2f(

n0

n0

)
=

1

2

+

1

2

+…+

1

2

+2f(1)=

1

2

(n0-1)+2•

1

6

，
∴Sn0=

3n0-1

12

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)解析式的求解以及數(shù)列求和的計(jì)算，綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大．