Question

已知動圓過點M（2，0），且被y軸截得的線段長為4，記動圓圓心的軌跡為曲線C．
（Ⅰ）求曲線C的方程；
（Ⅱ）過點M的直線交曲線C于A，B兩點，若在x軸上存在定點P（a，0），使PM平分∠APB，求P點的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（I）設動圓圓心的坐標為（x，y），利用垂徑定理和兩點間的距離公式即可得到 2²+|x|²=（x-2）²+y²，化簡即可．
（II）解法1：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線AB的方程為x=my+2．將直線AB的方程與曲線C的方程聯(lián)立，消去x得：y²-4my-8=0．
得到根與系數(shù)的關系y₁+y₂=4m，y₁y₂=-8．由PM平分∠APB，則直線PA，PB的傾斜角互補，可得k_PA+k_PB=0．
利用斜率計算公式可得 ．將 x₁=my₁+2，x₂=my₂+2代入上式，整理得 ，
即 2my₁y₂+（2-a）（y₁+y₂）=0．把 y₁+y₂=4m，y₁y₂=-8代入上式，（a+2）•m=0對任意實數(shù)m都成立，即可得到a的值；
解法2：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），①當過點M（2，0）的直線斜率不存在，
則l_AB：x=2，A，B兩點關于x軸對稱，x軸上任意一點P（a，0）（a≠2）均滿足PM平分∠APB，不合題意．
②當過點M（2，0）的斜率k存在時（k≠0），設l_AB：y=k（x-2），與拋物線方程聯(lián)立，消去y得k²x²-4（k²+1）x+4k²=0，△=32k²+16＞0，得到根與系數(shù)的關系，x₁x₂=4；由已知PM平分∠APB，則直線PA，PB的傾斜角互補，可得k_PA+k_PB=0．以下類比解法1．
解答：解：（Ⅰ）設動圓圓心的坐標為（x，y）．
依題意，有 2²+|x|²=（x-2）²+y²，化簡得 y²=4x．
所以動圓圓心的軌跡方程為y²=4x．
（Ⅱ）解法1：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線AB的方程為x=my+2．
將直線AB的方程與曲線C的方程聯(lián)立，消去x得：y²-4my-8=0．
所以y₁+y₂=4m，y₁y₂=-8．
若PM平分∠APB，則直線PA，PB的傾斜角互補，所以k_PA+k_PB=0．
∵P（a，0），則有 ．
將 x₁=my₁+2，x₂=my₂+2代入上式，整理得 ，
所以 2my₁y₂+（2-a）（y₁+y₂）=0．
將 y₁+y₂=4m，y₁y₂=-8代入上式，
得 （a+2）•m=0對任意實數(shù)m都成立，
所以a=-2．故定點P的坐標為（-2，0）．
解法2：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
當過點M（2，0）的直線斜率不存在，
則l_AB：x=2，A，B兩點關于x軸對稱，x軸上任意一點P（a，0）（a≠2）均滿足PM平分∠APB，不合題意．
當過點M（2，0）的斜率k存在時（k≠0），設l_AB：y=k（x-2），
聯(lián)立，消去y得k²x²-4（k²+1）x+4k²=0，
△=32k²+16＞0，，x₁x₂=4，
∵PM平分∠APB，則直線PA，PB的傾斜角互補，∴k_PA+k_PB=0．
∵P（a，0），（a≠2），則有 ．
將y₁=k（x₁-2）y₂=k（x₂-2）代入上式，
整理得 ，
∴k（x₁-2）（x₂-a）+k（x₂-2）（x₁-a）=0
整理得2x₁x₂-（x₁+x₂）（2+a）+4a=0，
將，x₁x₂=4代入化簡得a=-2，
故定點P的坐標為（-2，0）．
點評：本小題主要考查拋物線的標準方程、直線與拋物線相交問題轉化為方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關系、垂徑定理、兩點間的距離公式、直線過定點問題等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查函數(shù)與方程思想、化歸與轉化思想、數(shù)形結合思想等