Question

5．已知函數(shù)f（x）=（x²-2x）1nx+ax²+2，g（x）=f（x）-x-2．
（Ⅰ）當a=-1時，求f（x）在（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）若a＞0且函數(shù)g（x）有且僅有一個零點，求實數(shù)a的值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，若e^-2＜x＜e時，g（x）≤m恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當a=-1時，f'（x）=（2x-2）1nx+（x-2）-2x，由此利用導數(shù)的幾何意義能求出f（x）在（1，f（1））處的切線方程．
（Ⅱ）令g（x）=f（x）-x-2=0，則$a=\frac{1-（x-2）1nx}{x}$令$h（x）=\frac{1-（x-2）1nx}{x}$，則h′（x）=$\frac{1-x-21nx}{x^2}$，令t（x）=1-x-21nx，則$t'（x）=-1-\frac{2}{x}=\frac{-x-2}{x}$，由此利用導數(shù)性質能求出當函數(shù)g（x）有且僅有一個零點時a的值．
（Ⅲ）當a=1，若e^-2＜x＜e，g（x）≤m，只需證明g（x）_max≤m，由g'（x）=（x-1）（3+21nx），求出$x={e^{-\frac{3}{2}}}$是g（x）的極大值點，由此能求出實數(shù)m的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）當a=-1時，f（x）=（x²-2x）1nx-x²+2定義域（0，+∞），
f'（x）=（2x-2）1nx+（x-2）-2x，
∴f'（1）=-3，又f（1）=1，
∴f（x）在（1，f（1））處的切線方程3x+y-4=0．
（Ⅱ）令g（x）=f（x）-x-2=0，則（x²-2x）1nx+ax²+2=x+2
即$a=\frac{1-（x-2）1nx}{x}$
令$h（x）=\frac{1-（x-2）1nx}{x}$，
則$h'（x）=-\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x}+\frac{2-21nx}{x^2}$=$\frac{1-x-21nx}{x^2}$，
令t（x）=1-x-21nx，則$t'（x）=-1-\frac{2}{x}=\frac{-x-2}{x}$，
∵x∈（0，+∞），∴t'（x）＜0，
∴t（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)，
又∵t（1）=h'（1）=0，
∴當0＜x＜1時，h'（x）＞0，當x＞1時，h'（x）＜0，
∴h（x）在（0，1）上單調遞增，在（1，+∞）上單調遞減，
∴h（x）_max=h（1）=1＞0，
又∵$h（\frac{1}{e}）=1-e＜0$，$h（{e^2}）=\frac{{5-2{e^2}}}{e^2}＜0$，a＞0
∴當函數(shù)g（x）有且僅有一個零點時，a=1
（Ⅲ）當a=1，g（x）=（x²-2x）1nx+x²-x，若e^-2＜x＜e，g（x）≤m，
只需證明g（x）_max≤m，g'（x）=（x-1）（3+21nx）
令g'（x）=0得x=1或$x={e^{-\frac{3}{2}}}$，又∵e^-2＜x＜e，
∴函數(shù)g（x）在$（{e^{-2}}，{e^{-\frac{3}{2}}}）$上單調遞增，
在$（{e^{-\frac{3}{2}}}，1）$上單調遞減，在（1，e）上單調遞增，
即$x={e^{-\frac{3}{2}}}$是g（x）的極大值點，
又$g（{e^{-\frac{3}{2}}}）=-\frac{1}{2}{e^{-3}}+2{e^{-\frac{3}{2}}}$，g（e）=2e²-3e
∵$g（{e^{-\frac{3}{2}}}）=-\frac{1}{2}{e^{-3}}+2{e^{-\frac{3}{2}}}$$＜2{e^{-\frac{3}{2}}}＜2e＜2e（e-\frac{3}{2}）=g（e）$，
∴$g（{e^{-\frac{3}{2}}}）＜g（e）$，∴m≥2e²-3e，
∴實數(shù)m的取值范圍是（2e²-3e，+∞）．

點評 本題考查函數(shù)的切線方程、實數(shù)的取值范圍、導數(shù)的幾何意義、導數(shù)性質、構造法等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、函數(shù)與方程思想，考查創(chuàng)新意識、應用意識，是中檔題．