Question

已知函數f（x）=Asin（ωx+

π

4

）（其中x∈R，A＞0，ω＞0）的最大值為2，最小正周期為8．
（Ⅰ）求函數f（x）的解析式及函數的增區(qū)間；
（Ⅱ）若函數f（x）圖象上的兩點P，Q的橫坐標依次為2，4，O為坐標原點，求△POQ 的面積．

Answer 1

考點：正弦函數的圖象

專題：三角函數的圖像與性質,解三角形

分析：（Ⅰ）由已知得A=2．由周期公式可求得ω，即可確定解析式，由2kπ-

π

2

≤

π

4

x+

π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈Z即可解得函數的增區(qū)間．
（Ⅱ）先由已知可求得：P，Q坐標，即可求得|OP|，|OQ|，|PQ|的值，由余弦定理可得cos∠POQ，可得sin∠POQ=

6

3

，從而由面積公式即可求值．

解答： 解：（Ⅰ）由已知得A=2．由周期公式可求得：ω=

π

4

．
∴f（x）=2sin（

π

4

x+

π

4

）．
∴由2kπ-

π

2

≤

π

4

x+

π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈Z即可解得：x∈[8k-3，8k+1]，k∈Z，
∴函數的增區(qū)間是[8k-3，8k+1]．，k∈Z，
（Ⅱ）∵函數f（x）圖象上的兩點P，Q的橫坐標依次為2，4，
∴可求得：P（2，

2

），Q（4，-

2

）．
∴可求得：|OP|=

6

，|OQ|=3

2

，|PQ|=2

3

∴由余弦定理可得：cos∠POQ=

OP2+OQ2-PQ2

2×OP×OQ

=

3

3

，sin∠POQ=

6

3

，
∴△POQ 的面積為s=

1

2

×OP×OQ×sin∠POQ=3

2

．

點評：本題主要考查了正弦函數的圖象和性質，余弦定理的應用，兩點距離公式的應用，屬于中檔題．