Question

如圖，等腰梯形ABCD中，線段Ab的中點(diǎn)O是拋物線的頂點(diǎn)，DA、AB、BC分別與拋物線切于點(diǎn)M、O、N．等腰梯形的高是3，直線CD與拋物線相交于E、F兩點(diǎn)，線段EF的長(zhǎng)是4．
（Ⅰ）建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，求拋物線的方程；
（Ⅱ）求等腰梯形ABCD的面積的最小值，并確定此時(shí)M、N的位置．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）以AB所在直線為x軸，以O(shè)為圓點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，則F（2，3），設(shè)拋物線方程為y=ax²，a＞0，將F（2，3）代入，能夠求出拋物線方程．
（Ⅱ）由，設(shè)N（x，y），過(guò)點(diǎn)N的切線方程為，令y=0，又，，由此能求出等腰梯形ABCD的面積的最小值，并確定此時(shí)M、N的位置．
解答：解：（Ⅰ）以AB所在直線為x軸，以O(shè)為圓點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，則F（2，3），
設(shè)拋物線方程為y=ax²，a＞0，
將F（2，3）代入，得a=，
所以，拋物線方程為，
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：，
設(shè)N（x，y），過(guò)點(diǎn)N的切線方程為，
令y=0，又，∴，
∴．
令y=3，又，∴，
∴，
∴，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取“=”號(hào)，此時(shí)N（），M（-）．
點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線的性質(zhì)和應(yīng)用．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意均值不等式的合理運(yùn)用．