Question

如圖，直線AB與橢圓：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）交于A，B兩點(diǎn)，與x軸和y軸分別交于點(diǎn)P和點(diǎn)Q，點(diǎn)C是點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，直線BC與x軸交于點(diǎn)R．
（1）若點(diǎn)P為（6，0），點(diǎn)Q為（0，3），點(diǎn)A，B恰好是線段QP的兩個(gè)三等分點(diǎn)．
①求橢圓的方程；
②過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O引△ABC外接圓的切線，求切線長(zhǎng)；
（2）當(dāng)橢圓給定時(shí)，試探究OP•OR是否為定值？若是，請(qǐng)求出此定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）①利用

QP

=3

QA

，點(diǎn)B為A、P中點(diǎn)，可得點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，代入橢圓方程，求得幾何量，從而可求橢圓的方程；
②確定線段AB的中垂線方程，求得△ABC外接圓的圓心與半徑，從而可求切線長(zhǎng)；
（2）確定直線BC的方程，求得R的坐標(biāo)，同理可求P的坐標(biāo)，表示出OP•OQ，利用P、Q再橢圓上，即可求得結(jié)論．

解答：解：（1）①設(shè)點(diǎn)A（x，y），由題意知

QP

=3

QA

，則有（6，-3）=3（x，y-3），
解得x=2，y=2，即A（2，2），又點(diǎn)B為A、P中點(diǎn)，可得點(diǎn)B（4，1）…（2分）
∴

4 a2 + 4 b2 =1 16 a2 + 1 b2 =1

，解得：a²=20，b²=5，∴橢圓的方程為

x2

20

+

y2

5

=1…（5分）
②由點(diǎn)A（2，2），B（4，1）可求得線段AB的中垂線方程為y=2x-

9

2

，令y=0，得x=

9

4

．
設(shè)△ABC外接圓的圓心為M，半徑為r，可知M（

9

4

，0），r=AM=

65

4

…（7分）
∴切線長(zhǎng)為

OM2-r2

=1…（9分）
（2）設(shè)點(diǎn)B（x₀，y₀），A（x₁，y₁），則C（x₁，-y₁）．
所以直線BC的方程為y-y₀=

y0+y1

x0-x1

（x-x₀），
令y=0，得x=

x0y1+x1y0

y0+y1

，即點(diǎn)R（

x0y1+x1y0

y0+y1

，0），
同理P（

x1y0-x0y1

y0-y1

，0）…（13分）
∴OP•OR=|

x1y0-x0y1

y0-y1

||

x0y1+x1y0

y0+y1

|=

x12y02-x02y12

y02-y12

，
又∵

x02 a2 + y02 b2 =1① x12 a2 + y12 b2 =1②

，∴①×

y

2 1

-②×

y

2 0

，兩式相減得

x12y02-x02y12

a2

=

y

2 0

-

y

2 1

，
即

x12y02-x02y12

y02-y12

=a2，
∴當(dāng)橢圓給定時(shí)，OP•OR為定值a²…（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查點(diǎn)差法的運(yùn)用，屬于中檔題．