Question

己知雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的離心率e=

2 3

3

，過點A（0，-b）和B（a，0）的直線與原點的距離為

3

2

．
（1）求雙曲線的方程；
（2）求過雙曲線左焦點F₁，傾斜角為

π

4

的直線被雙曲線所截得的弦長．

Answer 1

分析：（1）利用雙曲線離心率e=

2 3

3

，過點A（0，-b）和B（a，0）的直線與原點的距離為

3

2

，建立方程組，求出幾何量，即可求雙曲線的方程；
（2）設出直線方程與雙曲線方程聯(lián)立，利用韋達定理，即可求弦長．

解答：解：（1）由題設，得

e2=1+ b2 a2 = 4 3 ab a2+b2 = 3 2

，解得a²=3，b²=1        
∴雙曲線的方程為

x2

3

-y2=1．…3分
（2）由（1）知過F₁的直線方程是y=x+2，與

x2

3

-y2=1聯(lián)立消去y，得2x²+12x+15=0．
∴x₁+x₂=-6，x₁x₂=

15

2

．
∴弦長=

2

•

62-4× 15 2

=2

3

．…12分．

點評：本題考查雙曲線的標準方程，考查直線與雙曲線的位置關系，考查學生的計算能力，屬于中檔題．