Question

在四棱錐S-ABCD中，SA⊥平面ABCD，底面ABCD為直角梯形，AD∥BC，∠ABC=90°，SA=AD=AB=1，BC=

2

（Ⅰ）求異面直線AD與SC所成角的大�。�
（Ⅱ）求直線SC與平面SBD所成角的正弦值．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角,異面直線及其所成的角

專題：空間角

分析：（Ⅰ）由已知條件推導出異面直線AD與SC所成的角就是BC與SC所成的角（或其補角），由此能求出異面直線AD與SC所成角的大小．
（Ⅱ）設C到平面SBD的距離為h，由V_C-SBD=V_S-BCD，得h=

S△BCD•SA

S△SBD

=

6

3

，由此能求出直線SC與平面SBD所成角的正弦值．

解答： 解：（Ⅰ）直角梯形ABCD中，∵AD∥BC，
∴異面直線AD與SC所成的角就是BC與SC所成的角（或其補角）．
連結AC，BD…（3分）
由已知有SB²=SA²+AB²=2，AC²=AB²+BC²=3，SC²=SA²+AC²=4
∴SC²=SB²+BC²，∴△SBC是等腰直角三角形，∴∠SCB=45°，
∴異面直線AD與SC所成角為45°．…（6分）
（Ⅱ）由題意知SD=SB=BD=

2

，
∴S△SBD=

1

2

×

2

×(

3

2

×

2

)=

3

2

，
直角梯形ABCD中，
S△BCD=

1

2

×

2

×1=

2

2

，…（8分）
設C到平面SBD的距離為h，
由V_C-SBD=V_S-BCD，得h=

S△BCD•SA

S△SBD

=

6

3

，…（10分）
由（Ⅰ）知SC=2，
設SC與平面SBD所成角為θ，則有sinθ=

h

SC

=

6

6

，
∴直線SC與平面SBD所成角的正弦值

6

6

．…（12分）

點評：本題考查異面直線所成角的大小的求法，考查直線與平面所成角的正弦值的求法，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．