設Sn是等比數(shù)列{an}的前n項和,S3,S9,S6成等差數(shù)列.
(Ⅰ)求數(shù)列{an}的公比q;
(Ⅱ)求證:a3,a9,a6成等差數(shù)列;
(Ⅲ)當am,as,at(m,s,t∈[1,10],m,s,t互不相等)成等差數(shù)列時,求m+s+t的值.
分析:(Ⅰ)由題意設出等比數(shù)列的前n項和公式,由S3,S9,S6成等差數(shù)列建立方程求q即可;
(Ⅱ)由(Ⅰ)給出a3,a9,a6的表達式,驗證是否構成等差數(shù)列即可;
(Ⅲ)am,as,at(m,s,t∈[1,10],m,s,t互不相等)成等差數(shù)列時,由等差數(shù)列的性質(zhì)構建方程,討論既得.
解答:解:(Ⅰ)當q=1時,S3=3a1,S9=9a1,S6=6a1,
∵2S9≠S3+S6,∴S3,S9,S6不成等差數(shù)列,與已知矛盾,
∴q≠1.(2分)
由2S9=S3+S6得:2•
a1(1-q9)
1-q
=
a1(1-q3)
1-q
+
a1(1-q6)
1-q
,(4分)
即2(1-q9)=(1-q3)+(1-q6)?2q6-q3-1=0,
q3=-
1
2
?q=-
3
1
2
,q3=1?q=1(舍去),∴q=-
34
2
(6分)
(Ⅱ)∵2a9-a3-a6=2a1q8-a1q2-a1q5=a1q2(2q6-1-q3)=0,
∴2a9=a3+a6,∴a3,a9,a6成等差數(shù)列.(9分)
(Ⅲ)S3,S9,S6成等差數(shù)列?2q6-q3-1=0?2q6=q3+1?2a1q6=a1q3+a1?2a7=a4+a1
∴a1,a7,a4成等差數(shù)列或a4,a7,a1成等差數(shù)列,則m+s+t=12,(11分)
同理:a2,a8,a5成等差數(shù)列或a5,a8,a2成等差數(shù)列,則m+s+t=15,
a3,a9,a6成等差數(shù)列或a6,a9,a3成等差數(shù)列,則m+s+t=18,
a4,a10,a7成等差數(shù)列或a7,a10,a4成等差數(shù)列,則m+s+t=21,
∴m+s+t的值為12,15,18,21.(15分)
點評:本題考查等差與等比數(shù)列的綜合運用,用到了分類討論的思想,綜合性較強.本題解題時容易因為討論不全出錯.
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設Sn是等比數(shù)列{an}的前n項和,
S3
S6
=
1
3
,則
S6
S12
等于( 。
A、
3
10
B、
1
5
C、
1
8
D、
1
9

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A、          B、             C、          D、

 

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A.
B.
C.
D.

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