Question

通過研究學生的學習行為，心理學家發(fā)現(xiàn)，學生的接受能力依賴于教師引入概念和描述問題所用的時間．講座開始時，學生的興趣激增；中間有一段不太長的時間，學生的興趣保持較理想的狀態(tài)，隨后學生的注意力開始分散．分析結果和實驗表明，用f（x）表示學生的接受能力，x表示引入概念和描述問題所用的時間（單位：分鐘），可有以下的公式：
f（x）=

-0.1x2+2.6x+43，0＜x≤10 59，10＜x≤16 -3x+107，16＜x≤30.

（1）開講后多少分鐘，學生的接受能力最強？能維持多長時間？
（2）一道數(shù)學難題，需要55的接受能力以及13分鐘，教師能否及時在學生一直達到所需接受能力的狀態(tài)下講授完這道難題？

Answer 1

分析：（1）求學生的接受能力最強其實就是要求分段函數(shù)的最大值，方法是分別求出各段的最大值取其最大即可；
（2）令f（x）=55，分段求出x，兩個時間之差就是持續(xù)的時間，最后和13分鐘比較大小即可．

解答：解：（1）當0＜x≤10時，f（x）=-0.1x²+2.6x+43=-0.1（x-13）²+59.9，為開口向下的二次函數(shù)，對稱軸為x=13
故f（x）遞增，最大值為f（10）=59；當10＜x≤16時，f（x）=59；當30≥x＞16時，f（x）為減函數(shù)，且f（x）＜59，因此，開講10分鐘后，學生達到最強接受能力（為59），能維持6分鐘時間．
（2）當0＜x≤10時，令f（x）=55，解得x=6或x=20（舍去），
當16＜x≤30時，令f（x）=55，解得x=17

1

3

因此學生達到（含超過）55的接受能力的時間為17

1

3

-6=11

1

3

＜13，
故老師不能在學生一直達到所需接受能力的狀態(tài)下講授完這個難題．

點評：本題考查分段函數(shù)，考查分段函數(shù)圖象和增減性，此題學生容易出錯，原因是學生把分段函數(shù)定義理解不清，自變量取值不同，函數(shù)解析式不同是分段函數(shù)最顯著的特點．