已知f(x)=2sin(
π
4
+
x
2
)sin(
π
4
-
x
2
)+
sin2x
2cosx

（I）若f(α)=
2
2
，α∈(-
π
2
，0)，求α的值；
（II）若sin
x
2
=
4
5
，x∈(
π
2
，π)，求f(x)的值．
分析：（1）先對f（x）進(jìn)行化簡得到f（x）=
2
sin(x+
π
4
)，再由f（α）的值及α的范圍求出α的值．
（2）先由x的范圍確定
x
2
的范圍，進(jìn)而可得cos
x
2
和sinx的值，最終求出答案．
解答：解：（I）f(x)=2sin(
π
4
+
x
2
)cos(
π
4
+
x
2
)+
sin2x
2cosx

=sin(
π
2
+x)+sinx=sinx+cosx
=
2
sin(x+
π
4
)
由f(α)=
2
2
，得
2
sin(α+
π
4
)=
2
2

∴sin(α+
π
4
)=
1
2

∵α∈(-
π
2
，0)
∴α+
π
4
∈(-
π
4
，
π
4
)
∴α+
π
4
=
π
6
，∴α=-
π
12
(7分)
（II）∵x∈(
π
2
，π)，∴
x
2
∈(
π
4
，
π
2
)
又sin
x
2
=
4
5
，∴cos
x
2
=
3
5

∴sinx=2sin
x
2
cos
x
2
=
24
25
，cosx=-
1-sin2x
=-
7
25

∴f(x)=sinx+cosx=
24
25
-
7
25
=
17
25
點(diǎn)評：本題主要考查已知三角函數(shù)值和范圍來確定角的值的問題．這種湊角的思想在高考中也經(jīng)常被考到．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f(x)=2sin(x-
π
4
)•cos(x-
π
4
)+sin2x，則函數(shù)f（x）得最小正周期是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f(x)=
2
sin(2x-
π
4
)，x ∈[
π
4
，
5π
4
]
（Ⅰ）用五點(diǎn)作圖法作出f（x）的圖象，并指出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和值域；
（Ⅱ）若f（x）=a有兩個不同的實(shí)數(shù)根，請你求出這兩根之和．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f(x)=2sin(2x-
π
6
)-m在x∈[0，
π
2
]上有兩個不同的零點(diǎn)x1，x2，則m取值范圍是
[1，2）
[1，2）
，x1+x2=
2π
3
2π
3
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f(x)=2sin(
π
6
-2x)+a．
（1）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若f（x）的定義域?yàn)?span id="zx1nanp" class="MathJye">(-
π
4
，0)時，最大值為3，求a的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知f(x)=2sin(2x-
π
3
)+1．
（1）求f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（2）求f（x）圖象的對稱軸的方程和對稱中心的坐標(biāo)；（3）在給出的直角坐標(biāo)系中，請畫出f（x）在區(qū)間[-
π
2
，
π
2
]上的圖象．

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