Question

若S_n是公差不為0的等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，且S₁，S₂，S₄成等比數(shù)列．
（1）求等比數(shù)列S₁，S₂，S₄的公比； 
（2）若S₂=4，求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）設(shè)，T_n是數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和，求使得對所有n∈N^*都成立的最小正整數(shù)m．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，S₁，S₂，S₄成等比數(shù)列．可求出首項(xiàng)與公差的關(guān)系，即可求得公比；
（2）由S₂=4，結(jié)合（1）的結(jié)論，即可求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）利用裂項(xiàng)法求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和，確定T_n＜，從而可得不等式，即可求得使得對所有n∈N^*都成立的最小正整數(shù)m．
解答：解：（1）∵數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，∴S₁=a₁，S₂=2a₁+d，S₄=4a₁+6d，
∵S₁，S₂，S₄成等比數(shù)列，
∴S₁•S₄=S₂²，
∴，∴
∵公差d不等于0，∴d=2a₁
∴；
（2）∵S₂=4，∴2a₁+d=4，又d=2a₁，
∴a₁=1，d=2，∴a_n=2n-1． 
（3）∵
∴…=
要使對所有n∈N^*恒成立，
∴，∴m≥30，
∵m∈N^*，
∴m的最小值為30．
點(diǎn)評：本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的結(jié)合，考查數(shù)列的通項(xiàng)與求和，考查恒成立問題，正確求和是關(guān)鍵．