Question

18．函數(shù)f（x）滿足x∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$）時，f′（x）＞tanx•f（x），則下列式子中正確的序號是④
①2f（0）＞f（$\frac{π}{3}$）；②f（-$\frac{π}{3}$）＞$\sqrt{2}$f（-$\frac{π}{4}$）；③$\frac{\sqrt{3}}{3}$f（$\frac{π}{4}$）＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$f（$\frac{π}{6}$）；④2f（-1）＜$\frac{1}{cos1}$f（$\frac{π}{3}$）

Answer 1

分析 由題意得到f′（x）cosx＞f（x）sinx，構(gòu)造函數(shù)g（x）=f（x）cosx，判斷函數(shù)g（x）在（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$）上單調(diào)遞增，逐一驗證即可．

解答 解：∵f′（x）＞tanx•f（x），
∵x∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$），
∴0＜cosx≤1
∴f′（x）cosx＞f（x）sinx，
構(gòu)造函數(shù)g（x）=f（x）cosx，
∴g′（x）=f′（x）cosx-f（x）sinx＞0在x∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$）恒成立，
∴函數(shù)g（x）在（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$）上單調(diào)遞增，
∵0＜$\frac{π}{3}$，
∴g（0）＜g（$\frac{π}{3}$），
∴f（0）cos0＜f（$\frac{π}{3}$）cos$\frac{π}{3}$，
∴2f（0）＜f（$\frac{π}{3}$）；故①錯誤，
∵-$\frac{π}{3}$＜-$\frac{π}{4}$，
∴f（-$\frac{π}{3}$）cos（-$\frac{π}{3}$）＜f（-$\frac{π}{4}$）cos（-$\frac{π}{4}$），
∴f（-$\frac{π}{3}$）＜$\sqrt{2}$f（-$\frac{π}{4}$），故②錯誤，
∵$\frac{π}{6}$＜$\frac{π}{4}$，
∴f（$\frac{π}{6}$）cos（$\frac{π}{6}$）＜f（$\frac{π}{4}$）cos（$\frac{π}{4}$），
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}$f（$\frac{π}{6}$）＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$f（$\frac{π}{4}$），
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$f（$\frac{π}{6}$）＜$\frac{\sqrt{3}}{3}$f（$\frac{π}{4}$），故③錯誤，
∵-1＜$\frac{π}{3}$，
∴g（-1）＜g（$\frac{π}{3}$），
∴f（-1）cos（-1）＜f（$\frac{π}{3}$）cos$\frac{π}{3}$，
∴2f（-1）＜$\frac{1}{cos1}$f（$\frac{π}{3}$）故④正確，
故答案為：④

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，屬于中檔題．